Аффинные преобразования на плоскости (2D). Основные виды (2D) аффинных преобразований. Композиция преобразований

Геометрическое преобразование – взаимно однозначное, точечное отображение плоскости XOY в плоскость UOV.

Афинное преобразование – геометрическое преобразование, при котором сохраняются прямые линии, отношение длин отрезков, лежащих на одной или параллельных прямых и отношение площадей фигур.

На плоскости введена прямолинейная координатная система. Тогда каждой точке М ставится в соответствие упорядоченная пара чисел (х,y) ее координат (Рис.1). Вводя на плоскости еще одну прямолинейную систему координат, мы ставим в соответствие той же точке М другую пару чисел – (х*, y*).

Переход от одной прямолинейной координатной системы на плоскости к другой описывается соотношением:

х*= αх +βy +λ, y*=γx +δy +μ (1), где α,β,λ,γ,δ,μ – произвольные числа, связанные с неравенством

Формулы (1) можно рассматривать двояко: либо сохраняется система координат и изменяется положение точки, либо изменяется система координат и сохраняется положение точки. Будем рассматривать формулы (1), как правила, согласно которым в заданной системе прямолинейных координат преобразуются точки плоскости.

Рассмотрим несколько частных случаев.

1. Поворот вокруг начальной точки на угол φ.

x* = x cosφ - y sinφ.

y* = x sinφ - y cosφ.

2. Растяжение (сжатие) вдоль координатных осей

x* = α x

y* = δ y

α – коэффициент масштабирования вдоль оси Х

δ – коэффициент масштабирования вдоль оси Y

α = δ – однородное масштабирование, α ≠ δ – неоднородное масштабирование.

Если коэффициент масштабирования больше 1 – то растяжение, если коэффициент от 0 до 1 - то сжатие.

3. Отражение

Отражение относительно оси x (x* = x, y* = -y).

Отражение относительно оси y (x* = -x, y* = y).

4. Перенос (перемещение)

x* = x + λ

y* = y + μ