Геометрическая интерпретация метода 7 страница

Если А,В = 0, то краевые условия называются однородными.

Рассмотрим численные методы сначала для линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка.

Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений.

Пусть точки внутри отрезка распределены равномерно, т.е. с шагом и

Обозначим приближенные значения искомой функции и её производных в точках x_i или

Заменяем производную разностей (первые два члена в разложении в

ряд Тейлора):

для граничных условий:

;

тогда уравнение:

y''+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=u(x)

можно переписать:

Получаем линейную алгебраическую систему из n+1 уравнений с n+1 неизвестной. Решив её, получаем таблицу значений искомой функции в точках x_i.

Более точные формулы получаются, если заменить y'(x_i), y''(x_i) центрально-разностными соотношениями:

Тогда мы получаем систему уравнений следующего вида:

При большом n непосредственное решение систем становится громоздким. Поэтому существует достаточно простой метод, разработанный специально для решения системы такого вида. Этот метод называется методом прогонки.

Метод прогонки.

Возьмем систему уравнений в конечно-разностном представлении:

преобразуем систему:

Далее получаем систему в виде:

где коэффициенты с_i, d_i при i=0 вычисляются:

; ;

Каков алгоритм метода.

1) Вычисляем m₀, k₀.

2) Вычисляем с₀, d₀.

3) Вычисляем с_i, d_i, для i=1..n-2

Вычислив все координаты с_i, d_i для i=0..n-2, мы заканчиваем прямой

ход задачи. Далее начинается обратный ход:

1. =>

Зная с_n-2, d_n-2 вычисляем y_n.

2. Далее вычисляем y_i, i=n-2..1, по формуле:

а именно

3. А y₀ определяется из уравнения:

=>

На этом и заканчивается обратный ход.

Т.о. все вычисления как бы "прогоняются" два раза. Вычисление прямого хода с с₀, d₀ использует начальные условия. Затем на обратном ходе полученные с_n-2, d_n-2 согласовываются с краевым условием. После всего этого

последовательно получаем y_i в порядке убывания индекса i.

Все вычисления при методе прогонки лучше всего сводить в таблицу.

				Прямой ход	обратный
i	xi	ki	ui	ci	di	yi
...	...	...	...	... ...	... ...	... ...

Метод конечных разностей для нелинейных уравнений второго порядка.

Аналогично, как и в случае линейного дифференциального уравнения заменяем производные центрально разностными отношениями:

Получаем нелинейную систему n+1 уравнений с n+1 неизвестными y_i, i=0..n+1

Её можно решить любым методом, например методом итераций. При этом на каждом шаге итерации необходимо решать систему линейных уравнений.

Используя специальный вид такой системы математически было найдено

явное вид итерационной формулы:

где известны

Т.о. решение системы сводится к достаточно простой итерационной схеме.

Лекция №15

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРЕМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть в результате измерений в процессе опыта полученна таблица некоторой зависимости:

X	X1	X2	…	Xn
F (X)	Y1	Y2	…	Yn

Необходимо найти формулу, выражающую эту зависимость аналитически.

Необходимо отметить, что такая постановка задачи соответствует постановке задачи интерполяции. Одноко в теории обрабртки эксперементальных данных методы, по сути являющиеся методами апроксимации, отличаются от методов интерполяции, ранее нами рассмотренных.

Методы интерполяции многочленами, которые мы с вами уже рассмотрели строят многочлены, значения которых в узловых точках Х₁ совпадают со значениями Y₁. Однако такое совпадение в общем случае вовсе не означает совпадение характеров поведения исходной и интерполирующей функции. Требования неукоснительного совпадения значений исходной и интерполирующей функции может оказаться тем более неоправданным, если значения Y₁ получены в результате измерений и являются сомнительными. Это во первых.

Во вторых: задача интерполяции известными нами методами как правило решаются для небольшого отрезка, и найденная, интерполяционная функция может оказаться непригодной для другого отрезка или даже для большего отрезка.

Исходя из вышесказанного, следует уточнить задачу методов обработки эксперементальных данных. По заданным табличным данным необходимо найти функцию заданного вида: y = F (X), которая в точках X_i принимает значения как можно более близкие к табличным значениям Y_i.

Практически вид приближающей функции F можно определить следующим образом. Стоим точечный график функции f, а затем проводиться плавная кривая, по возможности наилучшим образом отражающая характер расположения точек. По полученной таким образом кривой устанавливается вид приближающей функции (обычно из числа простых по виду аналитических функций).

Построение приближающей функции F (X).

Как правило перед тем, как решить такую задачу необходимо ответить на четыре вороса:

1) Какие узлы мы будем использовать?

2) Какую аналитическую функцию мы будем использовать?

3) Какой критерий согласия мы будем использовать?

4) Какую точность мы хотим достичь?

УЗЛОВЫЕ ТОЧКИ

В принципе это вопрос статистики, а именно той области, которая называется "планированием эксперемента".

На практике узловые точки заданны внешними обстоятельствами или как правило используются равноотстоящие точки.

Если же существует возможность выбора точек, то она и в методах интерполяции многочленами лучше всего воспользоваться теоремой Чебышева.

КЛАСС ФУНКЦИЙ

Выбор вида функции осуществляется исходя из общей задачи, в рамках которой решается задача обработки эксперементальных данных. В качестве приближающей функции могут быть использованны следующие элементарные фунции:

- степенная

- показательная

- дробно-линейная

- логарифмическая

- гиперболическая

- дробно-рациональная

- линейная

- квадратный трехчлен

- тригонометрическая

Далее мы рассмотрим эти приближающие функции более подробно.

КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ

Это самый важный вопрос. Решение этого вопроса дает ответ решения задачи наилучшего приближения. Что означает математически наилучшее приближение.

Существуют три наиболее широко распространенных критерия согласия:

- среднеквадратический;

- минимальный или Чебышева;

- вероятностно-зональный.

СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ

Предпологает минимизацию суммы квадратов ошибки в узловых точках:

где y_i -значение исходной функции в точке х_i (табличное);

F(х_i) -значение апроксимирующей функции.

Среднеквадратический критерий позволяет получить сглаживание шума то есть позволяет отфильтровать зашумленные данные, не требуя никакой дополнительной информации о шумовых характеристиках.

МИНИМАЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ ИЛИ КРИТЕРИЙ ЧЕБЫШЕВА

определяется:

как определение максимального отклонения.

Если применение среднеквадратического критерия уменьшает среднеквадратическую ошибку, при этом допуская отдельные большие ошибки, то чебышевское приближение - минимальное - уменьшает экстремальную наибольшую ошибку. По этому этот критерий используется, когда необходимо при апроксимации избежать больших ошибок.

Минимальный критерий также не использует дополнительную информацию о шумовых характеристиках.

ВЕРОЯТНОСТНО-ЗОНАЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ

а вернее критерии используют (требуют) дополнительную информацию о шумовых характеристиках обьекта:

-?

- максимальное правдоподобие - распределение вероятностей и т.д.

Задача обработки эксперементальных данных относится к задачам оптимизации. Задача оптимизации начинается с формулировки цели. Критерий - это математическое определение цели.

Цель - наилучшее приближение.

Критерий: среднеквадратичный

ТОЧНОСТЬ

Выбор точности приближения осуществляется исходя из условий задачи и выбранного критерия.

На практике наибольшее распространение получил метод наименьших квадратов, использующий среднеквадратический критерий.

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть задана таблица измерений:

Xi	X1	X2	…	Xn
F(X)	Y1	Y2	…	Yn

Тогда задача формулируется следующим образом: для функции f(X_i), заданной таблицей, найти функции F определенного вида так, чтобы сумма квадратов:

В качестве приближающих функций в зависимости от характера точечного графика функции f рассмотрим следующие функции:

- степенная

- показательная

- дробно-линейная

- логарифмическая

- гиперболическая

- дробно-рациональная

- линейная

- квадратный трехчлен

a, b, m, c - параметры. Когда осуществлен выбор приближающей функции, то задача приближения сводится к определению значения этих параметров.

Рассмотрим задачу в общем виде.

Приближающая функция имеет общий вид:

Сумма квадратов:

Чтобы найти минимум функции , используем необходимое условие экстремума:

т. е.

Решив эту систему трех уравнений с тремя неизвестными а, в, с мы и получили конкретный вид функции F(x, a, b, c).

Естественно, что F(X_i) будет отличатся от Y_i, но отношения

будут минимальны в среднеквадратичном случае.

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ.

Поделим каждое уравнение на n

Введем обозначения:

М_x, М_y, М_xy, М_x² - конкретные числа, т. е. мы получаем достаточно просто систему второго порядка, решение которой и даёт искомые a, b.

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН.

После преобразования получаем систему:

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

(ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ РЕГРЕССИЯ)

F(x, a, m)=ax^m

Прологарифмируем F:

Ln(F)=Ln(a)+m*Ln(x)

(если а>0, х>0)

Введем новую переменную U=Ln(x)

(U)=Ln(F)=AU+B

где А=m и B=Ln(a)

Решаем линейную задачу (U)=AU+B

Практически:

1) составляем новую таблицу

Ln(x)
Ln(y)

2) находим параметры А, В

3) определяем m=A; получаем

F(x, a, m)=ax^m

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ.

F(x, a, m)=ae^xm

Логарифмируем

Ln(F)=Ln(a)+mx m=A Ln(a)=B Ln(F)= =Ax+B

1) составляем дополнительную строку

Ln(y)

2) находим А, В

3) определяем m=A, и получаем

F(x, a, m)=ae^xm

ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ.

Преобразуем следующим образом:

1) дополнительная строка 1/y

2) решаем систему линейных уравнений, определяя a, b.

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ.

F(x, a, b)= a*Ln(x)+b

Подстановка U=Ln(x)

1) Дополнительная строка Ln(x)

ГИПЕРБОЛА.

Подстановка

1) Дополнительная строка

ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНАЯ.

Подстановка

1) Дополнительные строки и

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФОРМЫ ЗАПИСИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.

a +ib

ДЕЙСТВИЯ:

1) Сложения:

a+ib+c+id = (a+c)+(b+d)*i

2) Вычитания:

(a+ib)-(c+id) = (a-c)+(b-d)*i

3) Умножения:

(a+ib)*(c+id) = (a*c-b*d)+(a*d+b*c)*i

4) Деление: