 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Геометрическая интерпретация метода 5 страница
|
|
Теорема о существовании корней и сходимости процесса Ньютона
Пусть дана нелинейная система уравнений
,
где 
- вектор-функция определена и непрерывна вместе со своими частными производными первого и второго порядков в некоторой области 
. Положим, что 
- есть точка, лежащая в вместе со своей замкнутой 
-окрестностью. При этом выполняются следующие условия:
1) матрица Якоби при 
имеет обратную функцию
2) 
3) 
4) постоянные 
удовлетворяют неравенству
Тогда процесс Ньютона при начальном приблежении сходится к решению 
- есть решение такое, что 
Для проверки условия 
даёт оценку расходимости начального и первого приблежения.
Быстрота сходимости процесса Ньютона
Если выполнимы все четыре условия теоремы 1, то для последовательных приближений 
, 
справедливо неравенство:
где 
- искомое решение, а
При 
сходимость метода - сверхбыстрая.
Единственность решения
Если выполнимы все четыре условия, в области
то содержится единственное решение системы
Выбор начального условия
Если выполнимы все четыре условия и 
, то процесс сходится к единственному решению в основной области при любом выборе начального условия из области
Модифицированный метод Ньютона
При использовании метода Ньютона наиболее трудоёмким является процесс вычисления обратной матрицы Якоби.
Если матрица 
невырождённая для некоторого приближения , и достаточно близко к (искомому решению), то можно использовать модифицированный метод Ньютона.
Метод итераций
Дана система нелинейных уравнений:
или
(1)
Допустим, что систему 1 можно привести к виду:
(2)
Введём обозначения:
, 
,
Можно систему уравнений 2 переписать в виде:
Приведённое матричное уравнение и есть формула метода итераций
Превое достаточное условие сходимости процесса итерации
Пусть функции 
и 
непрерывны в области 
, причём в области выполнимо неравенство:
где 
- некоторая константа.
Если последовательные приближения
, 
не выходят из области , то этот процесс сходится к единственному решению системы.
Следствие:
оценка пиближённо
На практике лучше всего рассматривать матрицу с элементами
Для сходимости должно выполнятся условие
1) 
2) 
3) 
Метод скорейшего спуска (градиентный метод)
Дана система линейных уравнений:
(1)
В матричном виде
Считаем, что 
действительны и непрерывно дифференцируемы в их общей области определения.
Рассмотрим функцию
(2)
Очевидно, что если мы найдём решение системы уравнений 1 , то это решение является и решением системы уравнений 2 и наоборот.
Предполагаем, что система 1 имеет лишь одно изолированное решение, представляющего собой точку строго минимум функции 
. Таким образом задача сводится к нахождению минимум функции в 
-мерном пространстве.
Берём точку - нулевое приближение. Через точку проходит поверхность уровня и 
. Если близка , то поверхность = 
будет похожа на элипсоид.
Из точки движемся по нормали к поверхности 
до тех пор, пока эта нормаль не коснётся 
другой поверхности:
И так далее.
Так как 
, то двигаясь таким образом, мы быстро приближаемся к точке с минимальным значением 
, которая соответствует некоему корню .
Градиент функции U
- набла или grad - есть вектор приложенный к точке , имеющий направление нормали. Из векторных произведений
, 
(3)
Как определить 
? Для этого рассматривают скалярную функцию 
:
Уравнение 3 можно преобразовать так, чтобы не было выражения градиента:
,
где 
Пример:
I 1) 
2) 
II 1) 
2) 
Сходимость градиентного метода
Сходимость метода гарантируется при выборе начального приближения вблизи .
В любом случае метод может остановитья в точке относительного метода.
Лекции №11 и 12
Приближённое дифференцирование.
На практике часто возникает задача определить производную заданного порядка от функции, заданной таблично. Или возникает другая задача: получить значение производной достаточно сложной функции такой, что выражение производной принимает слишком неудобно для применения формул или достаточно сложно вычислить выражение производной. И в том, и в другом случае прибегают к численным методам дифференцирования.
Самый простой способ численного дифференцирования - графический.
Графический способ дифференцирования.
Задача графического дифференцирования заключается в построении по заданному графику функции y = f(x) придела её производной y 1 = f ’(x).
Пусть дан график:
Алгоритм построения графика производной.
1. Выбираем точки на?отрезках: сеть?? достаточно густой и содержать все характерные для графика точки.
2. Проводим касательные в этих точках.
3. Выбираем полюс P(-l,0), если возможно, то лучше всего l=1, в противном случае график производной будет построен в масштабе l.
4. Из полюса проводим линии параллельные касательным, до их пересечения с осью Oy отрезки оси 01’, 02’, 03’,... представляют собой величины пропорциональные значениям производной f ’(x).
5. Строим график производной.
Другой способ построения производной функции численным методом - это использование интерполяционных формул.
Для вывода формул приближённого дифференцирования заменяют данную функцию f(x) на отрезке [ a, b ] функцией P(x) (чаще всего полиномом), а далее полагают f ’(x)=P’(x) при 
.
Если для интерполирующей функции P(x) известна погрешность:
то погрешность производной определяется по формуле:
,
т.е. погрешность производной интерполирующей функции равна производной от погрешности этой функции.
Честно говоря, приближённое дифференцирование представляет собой операцию менее точно, чем интерполирования. Близость друг к другу ординат двух кривых на отрезке [ a, b ] ещё не характеризует близости их производных на этом отрезке
Формула приближённого дифференцирования, основанная на первой интерполяционной формуле Ньютона.
Дана функция y= f(x), заданная таблично, в равноотстоящих точках на отрезке [ a, b ].
Заменим функцию f(x) полиномом????
Перемножим биномы:
Определим 
Аналогично можно определить 
и т.д.
Иногда возникает задача производных функции f(x) в узловых точках x i.
Тогда 
=> 
Погрешность приближённого дифференцирования.
Пусть 
заменила интерполирующим полиномом 
и полюс 
то погрешность производной:
Известно, что
Упрощённая формула погрешности
Выбор оптимального шага численного дифференцирования.
Общая погрешность вычисления производной представляет собой сумму погрешностей: погрешности усечения и погрешности округлённого.
Погрешность усечения - вызвана? ?
Погрешность округления -???????????????
Численное интегрирование.
Если функция непрерывна на отрезке 
и известна её первообразная 
, то определённый интеграл от этой функции в пределах от a до b вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
где 
Однако во многих случаях первообразная??????? ?????? найдена с помощью элементарных средств или является слишком?????????.
В этом случае прибегают к численным методам.
Численное вычисление одно?????? интеграла называется механической квадратурой, двойного - механической????????, а соответственно формулы называются квадратурными и??????????????.
Обычный приём механической квадратуры состоит в том, что функцию на заменяют интерполирующей функцией 
.
Рассмотрим интерполирующий полином Лагранжа
- ошибка формулы (остаточный член)
где 
Если 
- узлы интерполирования, то квадратурная формула называется “заменного типа”, в противном случае - открытого типа.
Замечание: 1. 
не зависит от
2. Если - полином -???????????????????
Квадратурная формула Ньютона-Естеса.
Пусть для данной функции 
необходимо вычислить интеграл
Выберем шаг 
, разобьём на n участков
Заменяя на 
, получаем
Выведем????????????
,
тогда
,
т.е. , то 
?????????? Кетеса
Формула Трапеций.
Пусть 
тогда получим формулу трапеций
y
x0 x n x
, где 
Уточнённая формула трапеций.
Формула Симпсона (парабол).
Лекция N 13
Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) встречаются при описании движения системы взаимодействующих материальных носителей (механике, химической кинетике, электрических цепях, сопротивлении материалов и многих других явлениях жизни).Ряд важнейших задач сводится к задачам с обыкновенными дифференциальными уравнениями, а именно теория автоматического управления базируется на ОДУ, а также и другие курсы специальности АТПП.
Простейшим ОДУ является уравнение 1-го порядка:
ОДУ n-го порядка имеет вид:
Однако любое уравнение n-го порядка можно свести к системе из n уравнений 1-го порядка:
или
Таким образом, если задача состоит в решении ДУ высшего порядка, эту задачу всегда можно свести к решению ОДУ 1-го порядка. Поэтому в этом разделе мы будем рассматривать ОДУ 1-го порядка или системы ОДУ 1-го порядка.
Дата публикования: 2015-01-04; Прочитано: 376 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
