Геометрическая интерпретация метода 1 страница

3.142

k =30.500

Лекция №3 и 4

Интерполяция функций.

Первый этап работы любого вычисления - числа, приближения, погрешность.

Второй этап работы - функция, вычисления функции, её приближения. В краце о интерполяции. Интерполяция в простейшем случае заключается в следующем:

Существует какая-то функция, на ней заданы точки (называемые узлами интерполяции), требуется построить (интерполированную) функцию, которая принимала бы в указанных узлах те же значения.

Постановка задачи.

На отрезке заданы n значений аргумента x и соответствующие им значения функции f(x₀)=y₀; f(x₁)=y₁; …; f(x_n)=y_n.

Требуется построить функцию F(x), которая бы принимала в точках x те же значения, что и f(x):

F (x₀)=y₀; F (x₁)=y₁… F (x_n)=y_n

Для чего?

Для того, чтобы:

1. Задача интерполяции. Суметь по полученной функции вычислить значения F(z), где z ,

z x_i при i=0,n

2. Задача экстраполяции. Суметь по полученной функции вычислить F(z), где z .

Все существующие интерполяционные формулы содержат в себе конечные разности различных порядков.

Введём понятие конечных разностей.

Конечные разности различных порядков.

Пусть: y =f(x) - заданная функция

- фиксированная величина приращения аргумента

Тогда - называется первой конечной разностью функции y, или конечной разностью первого порядка.

Вторая конечная разность, или конечная разность второго порядка.

Третья конечная разность, или конечная разность третьего порядка.

Т.о., в общем виде:

Конечная разность n -го порядка.

Пример:

Конечные разности различных порядков удобно располагать в форме таблиц двух видов: горизонтальной и диагональной таблиц разностей

x	y
x 0	y 0
x 1	y 1
...	...	...	...	...

Диагональная таблица разностей.

x	y
X 0	Y 0
X 1	Y 1
X 2	Y 2
X 3	Y 3

Пример: горизонтальная таблица функции y = f(x) = x² при

, x ₀ = 0 начальное значение, x ₆=5 конечное значение

x	y

Диагональная таблица

x	y

При составлении таблиц возможные ошибки вычисляются и диагональная таблица наглядно показывает нам, как отразится ошибка в значении y _n.

Следует заметить, что максимальная ошибка – в той же горизонтальной строке, где и табличная величина y_n.

Пример: исправить ошибку в таблице (неверные цифры взяты в скобки).

				Ошибка
	13,260
	14,144
	15,912
	15,028		(-4)0
		88(0)4
	16,79(2)6		(8)0
		88(8)4
	17,680		(-4)0
	18,564
	19,448
	20,332

Как видно из таблицы, ход вторых разностей нарушается при x= 19. Ошибка распространяется на 3 строки. Находим среднее арифметическое значение второй разности для средней из 3 точек:

= , =

Внося исправление в табличное значение y для x= 19, получим верное значение функции:

_n=(y _n+ )- =16.792-(-0.004)=16.796.

Первая интерполяционная формула Ньютона.

Пусть для функции y=f(x) заданы значения y _i= f(x_i) для равноотстоящих значений независимой переменной x_i=x ₀+ i*h (i=0,n), где h - шаг интерполяции.

Требуется подобрать полином P_n(x) степени не выше n, принимающий в точках x_i значения P_n(x_i)=y_i (i=0,n)

Ньютон решил поставленную задачу:

P_n(x)=y ₀+ q y + + y₀,

где q= .

Эта формула называется первой интерполяционной формулой Нью-тона.

Каков физический смысл имеет переменная q в первой интерполяционной формулой Ньютона.

q= ,

где k - число шагов, необходимых для достижения точки x, исходя из точки x ₀.

Рассмотрим частные случаи n= 1 или n= 2:

n= 1 P ₁ (x)=y ₀+ q y ₀ – линейное интерполирование

n= 2 P ₂ (x)=y ₀+ q y ₀+ ² y ₀–параболическое (квадратичное) интерполирование

Пример: необходимо построить интерполяционный полином Ньютона для функции y= на отрезке c h= 1

X
Y	0.25	0.2	0.167	0.143	0.125

Горизонтальная таблица разностей.

x	y	y	2y	3y	4y
	0.25	-0.05	0.017	-0.008	0.005
	0.2	-0.033	0.009	-0.003
	0.167	-0.024	0.006
	0.143	-0.018
	0.125

Т.о., при наличии 5 точек максимальный порядок существующей конечной разности =4, максимальная степень полинома =4.

P ₄ (x)=y ₀+ q y ₀+ + y₀+

Как пользоваться формулой?

Допустим, необходимо определить значение в точке x= 4.4

Узловые точки x ₀=4, h= 1,тогда q=

Точное значение =0.22727.

Вторая интерполяционная формула Ньютона.

Первая интерполяционная формула Ньютона практически неудобна для интерполирования значений вблизи конца таблицы. В этом случае обычно применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.

P_n(x)=y_n+q y_{n- 1}+ + y₀,

Пример: y= sin x x , h= 5

Горизонтальная таблица разностей.

x	y	y	2y	3y	4y	5y
	0.5000	0.0736	-0.0044	-0.0005		0.0002
	0.5736	0.0692	-0.0049	-0.0005	0.0002
	0.6428	0.0643	-0.0054	-0.0003
	0.7071	0.0589	-0.0057
	0.7660	0.0532
	0.8192

Пример: Отыщем sin( 51 ^o ), x_n= 51, x =50^o, q= 0.2

Как первая, так и вторая формула Ньютона может быть использована для экстраполирования функции, т.е. для нахождения значений функции y для значений аргументов x, лежащих вне пределов таблицы.

Если x<x ₀, то лучше применять первую интерполяционную функцию Ньютона.

Если x>x _0, то лучше применять вторую интерполяционную функцию Ньютона.

Т.е., 1ИФН используется для интерполирования вперёд и экстраполирования назад.

2 ИФН используется для интерполирования назад и экстраполирования вперёд.

Как видно из формул 1 и 2, при интерполяции используется разности: в 1ИФН ⁿy ₀, во 2ИФН ^ky_{k+ _}.

Но существуют формулы, называемые формулы с центральными разностями, к ним относятся:

- ИФ Гаусса

- ИФ Стерлинга

- ИФ Бесселя,

которые используют разности, расположенные в горизонтальной строке диагональной таблицы, соответствует начальным значениям x_k, y_k или в строках близлежащих.

Но все эти формулы работают только для постоянного шага.

Необходимо отметить следующее:

при построении интерполяционных формул Ньютона в качестве начального значения выбирается первый или последний узел интерполирования; для центральных формул начальный узел является средним.