![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
3.142
k =30.500
Лекция №3 и 4
Интерполяция функций.
Первый этап работы любого вычисления - числа, приближения, погрешность.
Второй этап работы - функция, вычисления функции, её приближения. В краце о интерполяции. Интерполяция в простейшем случае заключается в следующем:
|
Постановка задачи.
На отрезке заданы n значений аргумента x и соответствующие им значения функции f(x0)=y0; f(x1)=y1; …; f(xn)=yn.
Требуется построить функцию F(x), которая бы принимала в точках x те же значения, что и f(x):
F (x0)=y0; F (x1)=y1… F (xn)=yn
Для чего?
Для того, чтобы:
1. Задача интерполяции. Суметь по полученной функции вычислить значения F(z), где z
,
z xi при i=0,n
2. Задача экстраполяции. Суметь по полученной функции вычислить F(z), где z
.
Все существующие интерполяционные формулы содержат в себе конечные разности различных порядков.
Введём понятие конечных разностей.
Конечные разности различных порядков.
Пусть: y =f(x) - заданная функция
- фиксированная величина приращения аргумента
Тогда - называется первой конечной разностью функции y, или конечной разностью первого порядка.
Вторая конечная разность, или конечная разность второго порядка.
Третья конечная разность, или конечная разность третьего порядка.
Т.о., в общем виде:
Конечная разность n -го порядка.
Пример:
Конечные разности различных порядков удобно располагать в форме таблиц двух видов: горизонтальной и диагональной таблиц разностей
x | y | ![]() | ![]() | ![]() |
x 0 | y 0 | ![]() | ![]() | ![]() |
x 1 | y 1 | ![]() | ![]() | ![]() |
... | ... | ... | ... | ... |
Диагональная таблица разностей.
x | y | ![]() | ![]() | ![]() |
X 0 | Y 0 | |||
![]() | ||||
X 1 | Y 1 | ![]() | ||
![]() | ![]() | |||
X 2 | Y 2 | ![]() | ||
![]() | ||||
X 3 | Y 3 |
Пример: горизонтальная таблица функции y = f(x) = x2 при
, x 0 = 0 начальное значение, x 6=5 конечное значение
x | y | ![]() | ![]() | ![]() |
Диагональная таблица
x | y | ![]() | ![]() | ![]() |
При составлении таблиц возможные ошибки вычисляются и диагональная таблица наглядно показывает нам, как отразится ошибка в значении y n.
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ||||
![]() | |||||
![]() | ![]() | ![]() | |||
![]() | ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||||
![]() | ![]() | ![]() | |||
![]() | |||||
![]() | ![]() |
Следует заметить, что максимальная ошибка – в той же горизонтальной строке, где и табличная величина yn.
Пример: исправить ошибку в таблице (неверные цифры взяты в скобки).
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | Ошибка |
13,260 | ||||
14,144 | ||||
15,912 | ||||
15,028 | (-4)0 | |||
88(0)4 | ||||
16,79(2)6 | (8)0 | ![]() | ||
88(8)4 | ||||
17,680 | (-4)0 | ![]() | ||
18,564 | ![]() | |||
19,448 | ||||
20,332 |
Как видно из таблицы, ход вторых разностей нарушается при x= 19. Ошибка распространяется на 3 строки. Находим среднее арифметическое значение второй разности для средней из 3 точек:
=
,
=
Внося исправление в табличное значение y для x= 19, получим верное значение функции:
n=(y n+
)-
=16.792-(-0.004)=16.796.
Первая интерполяционная формула Ньютона.
Пусть для функции y=f(x) заданы значения y i= f(xi) для равноотстоящих значений независимой переменной xi=x 0+ i*h (i=0,n), где h - шаг интерполяции.
Требуется подобрать полином Pn(x) степени не выше n, принимающий в точках xi значения Pn(xi)=yi (i=0,n)
Ньютон решил поставленную задачу:
Pn(x)=y 0+ q y +
+
y0,
где q= .
Эта формула называется первой интерполяционной формулой Нью-тона.
|
q= ,
где k - число шагов, необходимых для достижения точки x, исходя из точки x 0.
Рассмотрим частные случаи n= 1 или n= 2:
n= 1 P 1 (x)=y 0+ q y 0 – линейное интерполирование
n= 2 P 2 (x)=y 0+ q y 0+
2 y 0–параболическое (квадратичное) интерполирование
Пример: необходимо построить интерполяционный полином Ньютона для функции y= на отрезке
c h= 1
X | |||||
Y | 0.25 | 0.2 | 0.167 | 0.143 | 0.125 |
Горизонтальная таблица разностей.
x | y | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
0.25 | -0.05 | 0.017 | -0.008 | 0.005 | |
0.2 | -0.033 | 0.009 | -0.003 | ||
0.167 | -0.024 | 0.006 | |||
0.143 | -0.018 | ||||
0.125 |
Т.о., при наличии 5 точек максимальный порядок существующей конечной разности =4, максимальная степень полинома =4.
P 4 (x)=y 0+ q y 0+
+
y0+
Как пользоваться формулой?
Допустим, необходимо определить значение в точке x= 4.4
Узловые точки x 0=4, h= 1,тогда q=
Точное значение =0.22727.
Вторая интерполяционная формула Ньютона.
Первая интерполяционная формула Ньютона практически неудобна для интерполирования значений вблизи конца таблицы. В этом случае обычно применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.
Pn(x)=yn+q yn- 1+
+
y0,
Пример: y= sin x x , h= 5
Горизонтальная таблица разностей.
x | y | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
0.5000 | 0.0736 | -0.0044 | -0.0005 | 0.0002 | ||
0.5736 | 0.0692 | -0.0049 | -0.0005 | 0.0002 | ||
0.6428 | 0.0643 | -0.0054 | -0.0003 | |||
0.7071 | 0.0589 | -0.0057 | ||||
0.7660 | 0.0532 | |||||
0.8192 |
Пример: Отыщем sin( 51 o ), xn= 51, x =50o, q= 0.2
Как первая, так и вторая формула Ньютона может быть использована для экстраполирования функции, т.е. для нахождения значений функции y для значений аргументов x, лежащих вне пределов таблицы.
Если x<x 0, то лучше применять первую интерполяционную функцию Ньютона.
Если x>x 0, то лучше применять вторую интерполяционную функцию Ньютона.
Т.е., 1ИФН используется для интерполирования вперёд и экстраполирования назад.
2 ИФН используется для интерполирования назад и экстраполирования вперёд.
Как видно из формул 1 и 2, при интерполяции используется разности: в 1ИФН ny 0, во 2ИФН
kyk+ _.
Но существуют формулы, называемые формулы с центральными разностями, к ним относятся:
- ИФ Гаусса
- ИФ Стерлинга
- ИФ Бесселя,
которые используют разности, расположенные в горизонтальной строке диагональной таблицы, соответствует начальным значениям xk, yk или в строках близлежащих.
Но все эти формулы работают только для постоянного шага.
Необходимо отметить следующее:
при построении интерполяционных формул Ньютона в качестве начального значения выбирается первый или последний узел интерполирования; для центральных формул начальный узел является средним.
Дата публикования: 2015-01-04; Прочитано: 633 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!