Геометрическая интерпретация метода 2 страница

При применяют формулу Стирлинга, а при - Бесселя.

1ИФН и 2ИФН применяют тогда, когда интерполирование производится в начале или в конце таблицы и нужных центральных разностей не хватает.

Общая характеристика интерполяционных

формул с постоянным шагом.

Может быть представлена в виде диагональной таблицы разностей:

x	y	y	2y	3y	4y	Примечание
x-2	y-2		2y-3		4y-4	2-я ИФН
		y–2		3y-3
x-1	y–1		2y-2		4y-3
		y-1		3y-2
x0	y0		2y-1		4y-2	ф. Стерлинга
		y0		3y-1		ф. Бесселя
x1	y1		2y0		4y-1
		y1		3y0
x2	y2		2y1		4y0	1-я ИФН

Мы рассмотрели интерполяционные формулы для равностоящих узлов интерполирования.

Рассмотрим формулы для произвольно заданных узлов интерполирования.

Наиболее часто используется формула Лагранжа.

Интерполяционная формула Лагранжа.

Пусть на отрезке [ a;b ] даны n+ 1 различных значений аргумента x: x ₀, x ₁,…, x_n и известны соответствующие их значению функции y=f(x): f(x ₀ )=y ₀, f(x ₁ )=y ₁, f(x_n)=y_n. Требуется построить полином степени не выше , имеющий в заданных узлах те же значения, что и функция , т.е. L_n(x_i)=y_i при i=1,n

;

,

где L_i⁽ⁿ⁾ - коэффициенты Лагранжа.

Следует отметить, если узлы равностоящие, то интерполяционный полином Лагранжа совпадает с интерполяционной формулой Ньютона.

Примечательно то, что формула Лагранжа зависит лишь от y_i, а не от разностей.

Частные случаи.

n= 1

При n= 1 имеем 2 точки: (x ₀; y ₀ ) и (x ₁; y ₁ ).

прямая, проходящая через эти точки-

n= 2 (x ₀; y ₀ ), (x ₁; y ₁ ), (x ₂; y ₂ )

Пример:

L ₃ (x)=x ³ +x ² -x+ 2

Для вычисления лагранжевых подмножеств удобно составлять следующую таблицу разности:

x-x0	x0-x1	x0-x2	…..	x0-xn
x1-x0	x-x1	x1-x2	…..	x1-xn
x2-x0	x2-x1	x-x2	…..	x2-x1
…..	…..	…..	…..	…..
xn-x0	xn-x1	xn-x2	…..	x-xn

Обозначим произведение элементов i -ой строки через D_i, а произведение главной диагонали П_{n+ 1} (x). Отсюда следует, что:

П_n+1(x)=(x-x ₀ )(x-x ₁ )…(x-x_n)

при i=1,n

Для упрощения вычислений можно использовать инвариантность (при равноотстоящих точках лагранжевых коэффициентов),если

x= at+b

x_j= at_j+b при j=0,n

то L_i⁽ⁿ⁾(x)= L_i⁽ⁿ⁾(t)

Чаще всего требуется найти не общее выражение L_n(x), а значение его при конкретных x, тогда будет удобно пользоваться интерполяционной схемой Эйтьена:

Последовательно вычисляются многочлены:

и т.д.

Вычисления по схеме Эйтьена удобно расположить в таблице:

Xi	Yi	Xi-X	Li-1,i	Li-2,i-1,i	Li-3,i-2,i-1,i
X0	Y0	X0-X
X1	Y1	X1-X	L01
X2	Y2	X2-X	L12	L012
X3	Y3	X3-X	L23	L123	L0123
X4	Y4	X4-X	L34	L234	L1234

Вычисления по схеме Эйтьена обычно ведутся до тех пор, пока последовательные значения L _{01… n}(x) и L _{01… n(n+ 1 )} не совпадут по заданной точности.

Т.е. процедура является итерационной, легко реализуется и этим обеспечивает возможность автоматического контроля точности вычислений.

Пример: x= 27, =0,1

i	xi	yi	xi-x	Li-1,i	Li-2,i-1,i	Li-3,i-2,i-1,i	Li-4,i-3,i-2,i-1,i
		68,7	-13
		64,0	-10	48,33
		44,0		49,71	49,38
		39,1		48,9	49,26	49,31
				50,46	48,21	48,80	49,06

Вывод

Лекции №5

Фрмула Ньютона для неравностоящих узлов

Разделённые разности

Если в таблицах встречаются неравноотстоящие значения аргумента, т.е. таблицы с переменным шагом, то вводят понятие разделённых разностей.

Пусть функция задана таблично, где

- значения аргумента

- значения функции

отношения - разделённая разность первого порядка

- разделённая разность второго порядка

- разделённая разность -го порядка

Разделённые разности удобнее всего рассматривать в таблице - таблице разностей

				Разделённые разности
		1-го	2-го	3-го	4-го

Интерполяционная формула Ньютона для неравностоящих значений аргумента

Дано - значения аргумента

- значения функции

Апроксимировать таблично заданную функцию полиномом порядка не выше

Пример:

		1-го	2-го	3-го
	1,450
		1,127
1,5	3,140		-0,098
		0,795		- 0,012
3,4	4,650		-0,18
		-0,159
6,8	4,110

Погрешность формулы Ньютона для неравностоящих узлов

где - промежуточное значение между точками и

Интерполяция сплайками

Даны: , разбитый на разные отрезки с узлами

и соответствующие им значения функции

Сплайком называется функция, которая вместе с несколькими производными непрерывна на заданном отрезке , и на каждом частичном отрезке в отдельности является некоторым алгебраическим многочленом, причём степени многочлена различны.

Степень сплайка - максимальная степень многочлена.

Дефект сплайка - разность между степенью сплайка и порядком наивысшей производной на отрезке .

На практике широкое применение получили кубические сплайки.

Таким образом для интерполяции сплайками, необходимо знать не только значения функции в точках и ; а ещё и их производные

- наклон сплайка

Как задаётся наклон сплайка?

1. Упрощённый способ

2. Если известны значения =>

3. Глобальный

Сплайки являются наиболее удобным средством апроксимации функций на небольших промежутках, то есть .

При апрксимации функций интерполяционными многочленами можно потребовать очень высокой степени полиномы, тогда как разбиения на участки, содержащих несколько участков, правда при этом в савке двух многочленов первая производная терпит разрыв.

Многочлены Чебышева

Особенность интерполяции функции многочленами Чебышева заключается в том, что приведённые многочлены минимизируют максимальную погрешность

Выбор узлов интерполирования

На практике ИФН обрывается на членах, содержащих разности в пределах заданной точности. В этом случае остаточный член да 2инф:

- 2ИФН (1)

- 1ИФН (2)

- Лагранж (3)

Анализируя погрешности интерполяционных формул, можно сделать следующий вывод:

1. Остаточные члены зависят от выбора узлов интерполирования:

(1) и (2) =

(2)

2. В первых двух формулах видоизменить что-либо сложно, ибо само условие означает равноотстоящие узлы.

3. В формуле Лагранжа можно выбирать узлы. При неудачном выборе узлов интерполирования погрешность может быть очень большой.

если сконцетрировать около одного из концов, то

Рациональный вывод узлов, чтобы полином имел наименьшее максимальное значение по абсолютной величине на отрезке => “наименее отклонился от шрся на .

Эта задача решима русским математиком Чебышевым

где , => это узлы Полином Чебышева

Эти узлы неравноотстоящие, а сгущаются около концов отрезка.

Обратное интерполирование для равноотстоящих узлов

Задача обратного интерполирования заключается в том, чтобы по функции найти значение аргумента .

Предположим, что монотонна и значение содержится между и . Заменяя интерполяционным полиномом Ньютона, имеем: