![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
В векторной форме:
(1)
Известно, что система n-го порядка имеет множество решений, которые в общем случае зависят от параметров С, общее количество которых -n. Общее решение системы ОДУ может быть записано в виде:
,где
Для определения значения этих параметров, т.е. выделения единственного (или нужного) решения надо наложить n дополнительных условий для Y(x).
Различают 3 основных типа задач для ОДУ:
- задача Коши;
- краевая задача;
- задача на собственные значения.
Задача Коши.
Эту задачу еще называют задачей с начальными условиями, т.е. она имеет дополнительные условия:
Краевая задача.
Когда часть дополнительных условий задаются на одном конце, а остальная на другом.
Задача на собственные значения.
, где
т.е. первые части зависят от параметров , значения которых неизвестны и должны быть определены из самой задачи. Число дополнительных условий соответственно n+l. Функции
где
;
удовлетворяющее всем уравнениям, называются собственными дифференциальными или собственными значениями задачи.
Методы решения ОДУ.
1. Аналитические методы;
2. Численные методы;
3. Графические методы;
4. Приближенные методы.
Аналитические методы дают решение в виде аналитического выражения.
Графические методы дают приближенное решение в виде графика.
Численные методы дают решение в виде таблицы,они не позволяют найти общего решения системы,а дают только какие-то частные решения. Численные методы применяют только к корректно поставленным задачам, т.е. к таким,у которых малое изменение начальных значений, приводит к достаточно малому изменению интегральных кривых.
Пример плохо обусловленной задачи:
Общее решение:
при
однако
Методы решения задачи Коши(приближенные).
Метод Пикара(метод последовательных приближений).
Этот метод позволяет получить приближенные решения ДУ в виде функции, представленной аналитически. Рассмотрим задачу Коши для уравнения 1-го порядка:
Условие сходимости метода.
Если в некоторой области G(x, y) f(x, y) непрерывна и удовлетворяет условию минимума:
, где L-константа Липшица, то численные решения равномерно сходится к точному в области G(x, y).
Достоинства и недостатки метода.
Метод Пикара удобно применять, если интегралы легко вычисляются через элементарные функции. Если f(x)-сложна, то интеграл приходится находить численным методом, а это усложняет задачу.
Метод последовательного дифференцирования.
…………..
Искомые частные решения может быть разложено в ряд Тейлора по степеням разности
:
определяем
Численные методы.
Метод Эйлера.
В основе метода Эйлера (метод ломаных) лежит идея графического построения решения дифференциальных уравнений, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной (табличной) форме.
y
y
![]() | ![]() |
тогда можно для k-ой точки записать
Особенности метода Эйлера.
Метод очень прост в реализации, но обладает малой точностью, поскольку погрешность каждого нового шага систематически возрастает. Существует модификация метода, повышающая его точность - метод Эйлера-Коши - второй улучшенный метод.
Геометрически это означает, что мы определяем направление интегральной кривой в исходной точке и во вспомогательной точке
, а в качестве окончательного берем среднее этих направлений.
Метод Руте-Кутта.
Метод Эйлера и метод Эйлера-Коши относятся к семейству методов Руте-Кутта, имеющие следующий вид:
Фиксируем некоторые числа
последовательно вычисляем
Тогда
Наибольшее применение получил метод Руте-Кутта 4-го порядка:
Геометрический смысл метода Руте-Кутта состоит в следующем:
Из точки движемся в направлении, определяемом углом
На этом направлении выбираются точки
. Затем из точки
движемся в направлении, определяемом углом
1) Опрееделяем точку и направление
2) Выбираем точку ,
и направление
3) Выберем точку ,
и направление
.
4) Выберем точку ,
и направление
Схема Руте-Кутта имеет ряд важнейших достоинств:
1) высокая точность
2) явная схема вычислений за определенное количество шагов и по определенным формулам.
3) возможен переменный шаг, т.е. можно сменить шаг, где функция быстро меняется.
4) легко оформляется.
Метод Адамса.
Уточняет уже ранее рассчитанные приближения
Пусть найдены каким-либо способом три последовательности значений искомой функции (“начальный отрезок”):
.……………
- Экстраполяционная формула Адамса.
Схема Адамса в виде таблицы.
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
С помощью этой формулы получаем предсказанные .
Но надо уточнить
Для работы на ЭВМ формулы Адамса лучше применять в другой форме, где определяется не через
, а непосредственно через q.
Экстраполяционная формула Адамса:
Интерполяционная формула Адамса:
Лекция №14
Краевая задача. Методы её решения.
Дана система дифференциальных уравнений:
Дополнительные условия полагаются как в точке X0-начальные условия, так и в точке xn - конечные (краевые условия).
Очевидно, что краевая задача имеет место быть для систем уравнений. Для одного уравнения первого порядка краевая задача не может быть поставлена.
Замечание: в последнее время понятия краевой задачи несколько расширилось: дополнительные условия могут быть заданы во внутренних точках
их в таком случае называют внутренние краевые условия.
Краевая задача сама по себе крайне сложна, поэтому аналитическое решение не всегда бывает решение системы и суметь явно определить из краевых условий значения, входящих в общее решение постоянных.
Редко применяются и приближенные методы, такие как разложение в ряд Фурье; метод Рутца; метод Галерина.
В основном краевые задачи решаются численными методами, которые мы и рассмотрим. В виду сложности решения для систем уравнения n-го порядка, мы для простоты рассмотрим эти методы для двухточечной краевой задачи, которая ставится следующим образом: найти функцию y(x) как решение системы дифференциальных уравнений:
или
f(x, y, y', y'')=0 (1)
При этом искомая функция y(x) должна удовлетворять следующим краевым условиям:
(2)
Если уравнения (1) и (2) линейные, то такая краевая задача называется линейной краевой задачей. В этом случае дифференциальное уравнение и краевые условия могут быть записаны так:
y''+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=u(x)
где p(x), q(x), u(x) - известные непрерывные функции на отрезке ;
- заданные константы, причём:
Дата публикования: 2015-01-04; Прочитано: 790 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!