Геометрическая интерпретация метода 6 страница

В векторной форме:

(1)

Известно, что система n-го порядка имеет множество решений, которые в общем случае зависят от параметров С, общее количество которых -n. Общее решение системы ОДУ может быть записано в виде:

,где

Для определения значения этих параметров, т.е. выделения единственного (или нужного) решения надо наложить n дополнительных условий для Y(x).

Различают 3 основных типа задач для ОДУ:

- задача Коши;

- краевая задача;

- задача на собственные значения.

Задача Коши.

Эту задачу еще называют задачей с начальными условиями, т.е. она имеет дополнительные условия:

Краевая задача.

Когда часть дополнительных условий задаются на одном конце, а остальная на другом.

Задача на собственные значения.

, где

т.е. первые части зависят от параметров , значения которых неизвестны и должны быть определены из самой задачи. Число дополнительных условий соответственно n+l. Функции где ; удовлетворяющее всем уравнениям, называются собственными дифференциальными или собственными значениями задачи.

Методы решения ОДУ.

1. Аналитические методы;

2. Численные методы;

3. Графические методы;

4. Приближенные методы.

Аналитические методы дают решение в виде аналитического выражения.

Графические методы дают приближенное решение в виде графика.

Численные методы дают решение в виде таблицы,они не позволяют найти общего решения системы,а дают только какие-то частные решения. Численные методы применяют только к корректно поставленным задачам, т.е. к таким,у которых малое изменение начальных значений, приводит к достаточно малому изменению интегральных кривых.

Пример плохо обусловленной задачи:

Общее решение:

при

однако

Методы решения задачи Коши(приближенные).

Метод Пикара(метод последовательных приближений).

Этот метод позволяет получить приближенные решения ДУ в виде функции, представленной аналитически. Рассмотрим задачу Коши для уравнения 1-го порядка:

Условие сходимости метода.

Если в некоторой области G(x, y) f(x, y) непрерывна и удовлетворяет условию минимума:

, где L-константа Липшица, то численные решения равномерно сходится к точному в области G(x, y).

Достоинства и недостатки метода.

Метод Пикара удобно применять, если интегралы легко вычисляются через элементарные функции. Если f(x)-сложна, то интеграл приходится находить численным методом, а это усложняет задачу.

Метод последовательного дифференцирования.

…………..

Искомые частные решения может быть разложено в ряд Тейлора по степеням разности :

определяем

Численные методы.

Метод Эйлера.

В основе метода Эйлера (метод ломаных) лежит идея графического построения решения дифференциальных уравнений, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной (табличной) форме.

y

y

тогда можно для k-ой точки записать

Особенности метода Эйлера.

Метод очень прост в реализации, но обладает малой точностью, поскольку погрешность каждого нового шага систематически возрастает. Существует модификация метода, повышающая его точность - метод Эйлера-Коши - второй улучшенный метод.

Геометрически это означает, что мы определяем направление интегральной кривой в исходной точке и во вспомогательной точке , а в качестве окончательного берем среднее этих направлений.

Метод Руте-Кутта.

Метод Эйлера и метод Эйлера-Коши относятся к семейству методов Руте-Кутта, имеющие следующий вид:

Фиксируем некоторые числа

последовательно вычисляем

Тогда

Наибольшее применение получил метод Руте-Кутта 4-го порядка:

Геометрический смысл метода Руте-Кутта состоит в следующем:

Из точки движемся в направлении, определяемом углом На этом направлении выбираются точки . Затем из точки движемся в направлении, определяемом углом

1) Опрееделяем точку и направление

2) Выбираем точку , и направление

3) Выберем точку , и направление .

4) Выберем точку , и направление

Схема Руте-Кутта имеет ряд важнейших достоинств:

1) высокая точность

2) явная схема вычислений за определенное количество шагов и по определенным формулам.

3) возможен переменный шаг, т.е. можно сменить шаг, где функция быстро меняется.

4) легко оформляется.

Метод Адамса.

Уточняет уже ранее рассчитанные приближения

Пусть найдены каким-либо способом три последовательности значений искомой функции (“начальный отрезок”):

.……………

- Экстраполяционная формула Адамса.

Схема Адамса в виде таблицы.

С помощью этой формулы получаем предсказанные .

Но надо уточнить

Для работы на ЭВМ формулы Адамса лучше применять в другой форме, где определяется не через , а непосредственно через q.

Экстраполяционная формула Адамса:

Интерполяционная формула Адамса:

Лекция №14

Краевая задача. Методы её решения.

Дана система дифференциальных уравнений:

Дополнительные условия полагаются как в точке X0-начальные условия, так и в точке x_n - конечные (краевые условия).

Очевидно, что краевая задача имеет место быть для систем уравнений. Для одного уравнения первого порядка краевая задача не может быть поставлена.

Замечание: в последнее время понятия краевой задачи несколько расширилось: дополнительные условия могут быть заданы во внутренних точках

их в таком случае называют внутренние краевые условия.

Краевая задача сама по себе крайне сложна, поэтому аналитическое решение не всегда бывает решение системы и суметь явно определить из краевых условий значения, входящих в общее решение постоянных.

Редко применяются и приближенные методы, такие как разложение в ряд Фурье; метод Рутца; метод Галерина.

В основном краевые задачи решаются численными методами, которые мы и рассмотрим. В виду сложности решения для систем уравнения n-го порядка, мы для простоты рассмотрим эти методы для двухточечной краевой задачи, которая ставится следующим образом: найти функцию y(x) как решение системы дифференциальных уравнений:

или

f(x, y, y', y'')=0 (1)

При этом искомая функция y(x) должна удовлетворять следующим краевым условиям:

(2)

Если уравнения (1) и (2) линейные, то такая краевая задача называется линейной краевой задачей. В этом случае дифференциальное уравнение и краевые условия могут быть записаны так:

y''+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=u(x)

где p(x), q(x), u(x) - известные непрерывные функции на отрезке ;

- заданные константы, причём: