Математические модели в экономике и социологии в виде систем линейных уравнений

Пример 4. Предприятие планирует выпуск продукции трёх наименований , на производство которой требуется три вида ресурсов . Нормы затрат каждого вида ресурсов на изготовление единицы каждого наименования продукции задаются матрицей А. Найдите допустимый план выпуска продукции (у. е.), если предприятие располагает ресурсами в количестве единиц, заданном матрицей В, если

, .

Решение. Построим математическую модель данной задачи. Обозначим через количества планируемой к выпуску продукции соответственно первого, второго и третьего наименований. Определение допустимого плана выпуска продукции состоит в нахождении неотрицательного решения системы линейных уравнений

Решим полученную систему методом Гаусса. Для этого составим расширенную матрицу системы и преобразуем ее:

Þ Þ .

Последняя строка полученной матрицы равносильна уравнению , откуда .

Вторая строка дает уравнение . Зная, что , найдем :

, тогда .

Первая строка последней матрицы соответствует уравнение . Зная и , можем определить :

.

Таким образом, допустимый план производства продукции составляет 10 у.е. первого, 30 у.е. второго и 30 у.е. третьего наименования.