Лекция 2. Системы линейных алгебраических уравнений

План:

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия.

2. Формулы Крамера.

3. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

4. Обратная матрица. Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений.

5. Математические модели в экономике и социологии в виде систем линейных уравнений.

1. Системы линейных алгебраических уравнений. Основные понятия.

Системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называют множество уравнений, для которых требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем уравнениям системы:

(1)

где числа – называют коэффициентами системы, , ;

– свободные члены, ; – неизвестные переменные, .

Если все свободные члены равны нулю, т. е. =0, , то система (1) называется однородной.

Решением системы называется упорядоченная совокупность n чисел, которая при подстановке в каждое из уравнений системы вместо соответствующих переменных обращает каждое уравнение системы в тождество.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а система, не имеющая ни одного решения, – несовместной.

Система, имеющая только одно решение, называется определённой, если система имеет больше одного решения, то она называется неопределённой.

Две системы называются эквивалентными или равносильными, если любое решение одной из них является также решением другой и обратно.

Рассмотрим систему m уравнений с n неизвестными:

Её можно записать в матричном виде. Матрица системы составляется из коэффициентов системы:

.

Матрица-столбец из неизвестных:

.

Матрица-столбец свободных членов:

.

Тогда система (1) может быть записана в следующем матричном виде:

.