Метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных)

С помощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы (3) матрицу системы A приводим к трапециевидной форме.

, где , .

1) Если среди чисел , , …, есть отличные от нуля, то система (1) несовместна.

2) Если , то при исходная система (1) равносильна системе

Эта система имеет единственное решение. Находим из последнего уравнения . Затем, подставляя найденное значение в предпоследнее уравнение системы (7), находим и т.д.

3) Если и r < n исходная система (1) равносильна системе уравнений:

Придавая свободным переменным произвольные значения, последовательно находим из системы

Пример 2. Решить следующую систему уравнений методом Гаусса:

Решение. Составим расширенную матрицу системы и преобразуем ее:

Þ Þ Þ

Þ .

Последней матрице соответствует следующая система, равносильная исходной:

Эта система уравнений решений не имеет, так как получили уравнение , которое не имеет решений.