![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть дана квадратная матрица A =(аij) порядка n. Матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной, а матрица с нулевым определителем – вырожденной.
Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А, если . Обычно матрицу, обратную к матрице А, обозначают
. Итак, по определению
.
Теорема 1. Если матрица А невырожденная, то существует обратная матрица , и притом единственная, для которой одновременно выполняются равенства
и
. Справедливо и обратное утверждение, т.е. из существования обратной матрицы следует, что определитель матрицы не равен нулю.
Алгоритм нахождения обратной матрицы А –1
Пусть дана квадратная матрица A = (аij) порядка n.
1) Находим определитель матрицы det A. Если , то матрица А обратной не имеет. Если же
, то:
2) Находим алгебраические дополнения
Аik = (–1) i + k × Mik.
3) Записываем матрицу (Aij), состоящую из алгебраических дополнений.
4) Находим матрицу (Aij) T, транспонированную к (Aij).
5) Определяем А –1 по формуле .
6) Проверяем правильность вычислений, используя равенства .
Пример 3. Пусть дана матрица . Найдите обратную матрицу А- 1.
Решение.
1) ≠ 0. Значит, данная матрица невырожденная, а значит, имеет обратную.
2) А 11=(–1)1+1·5=5, А 12=(–1)1+2·2=–2, А 21 =(–1)2+1·4=–4, А 22 =(–1)2+2·1=1.
3) . 4)
.
5) .
6) Убедимся в том, что матрица А- 1 найдена верно. Для этого вычислим и
:
Аналогично убеждаемся, что . Значит, обратную матрицу нашли верно.
Ответ: .
Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений. Рассмотрим систему n уравнений с n неизвестными:
Если система является невырожденной, т.е. , то она имеет единственное решение:
.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 211 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!