Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Обратная матрица. Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений



Пусть дана квадратная матрица A =(аij) порядка n. Матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной, а матрица с нулевым определителем – вырожденной.

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А, если . Обычно матрицу, обратную к матрице А, обозначают . Итак, по определению

.

Теорема 1. Если матрица А невырожденная, то существует обратная матрица , и притом единственная, для которой одновременно выполняются равенства и . Справедливо и обратное утверждение, т.е. из существования обратной матрицы следует, что определитель матрицы не равен нулю.

Алгоритм нахождения обратной матрицы А –1

Пусть дана квадратная матрица A = (аij) порядка n.

1) Находим определитель матрицы det A. Если , то матрица А обратной не имеет. Если же , то:

2) Находим алгебраические дополнения

Аik = (–1) i + k × Mik.

3) Записываем матрицу (Aij), состоящую из алгебраических дополнений.

4) Находим матрицу (Aij) T, транспонированную к (Aij).

5) Определяем А –1 по формуле .

6) Проверяем правильность вычислений, используя равенства .

Пример 3. Пусть дана матрица . Найдите обратную матрицу А- 1.

Решение.

1) ≠ 0. Значит, данная матрица невырожденная, а значит, имеет обратную.

2) А 11=(–1)1+1·5=5, А 12=(–1)1+2·2=–2, А 21 =(–1)2+1·4=–4, А 22 =(–1)2+2·1=1.

3) . 4) .

5) .

6) Убедимся в том, что матрица А- 1 найдена верно. Для этого вычислим и :

Аналогично убеждаемся, что . Значит, обратную матрицу нашли верно.

Ответ: .

Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений. Рассмотрим систему n уравнений с n неизвестными:

Если система является невырожденной, т.е. , то она имеет единственное решение:

.





Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 208 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.008 с)...