Обратная матрица. Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений

Пусть дана квадратная матрица A =(а_ij) порядка n. Матрица, определитель которой не равен нулю, называется невырожденной, а матрица с нулевым определителем – вырожденной.

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А, если . Обычно матрицу, обратную к матрице А, обозначают . Итак, по определению

.

Теорема 1. Если матрица А невырожденная, то существует обратная матрица , и притом единственная, для которой одновременно выполняются равенства и . Справедливо и обратное утверждение, т.е. из существования обратной матрицы следует, что определитель матрицы не равен нулю.

Алгоритм нахождения обратной матрицы А ^–1

Пусть дана квадратная матрица A = (а_ij) порядка n.

1) Находим определитель матрицы det A. Если , то матрица А обратной не имеет. Если же , то:

2) Находим алгебраические дополнения

А_ik = (–1) ^{i + k} × M_ik.

3) Записываем матрицу (A_ij), состоящую из алгебраических дополнений.

4) Находим матрицу (A_ij) ^T, транспонированную к (A_ij).

5) Определяем А ^–1 по формуле .

6) Проверяем правильность вычислений, используя равенства .

Пример 3. Пусть дана матрица . Найдите обратную матрицу А^{- 1}.

Решение.

1) ≠ 0. Значит, данная матрица невырожденная, а значит, имеет обратную.

2) А ₁₁=(–1)¹⁺¹·5=5, А ₁₂=(–1)¹⁺²·2=–2, А ₂₁ =(–1)²⁺¹·4=–4, А ₂₂ =(–1)²⁺²·1=1.

3) . 4) .

5) .

6) Убедимся в том, что матрица А^{- 1} найдена верно. Для этого вычислим и :

Аналогично убеждаемся, что . Значит, обратную матрицу нашли верно.

Ответ: .

Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений. Рассмотрим систему n уравнений с n неизвестными:

Если система является невырожденной, т.е. , то она имеет единственное решение:

.