Геометрический и физический «смысл» двойного интеграла

К двойному интегралу . мы пришли от задачи об объеме цилиндрического тела, расположенного над областью D с переменной высотой .

В этом и состоит его геометрический смысл.

Можно рассмотреть задачу о массе плоской пластины, представляющей собой плоскую область D, плотность которой равна , т.е. меняется от точки к точке. Достаточно ассоциировать переменную плотность с переменной высотой в задаче об объеме, чтобы понять, что мы имеем ту же модель.

Поэтому физический смысл двойного интеграла заключается в том, что равен массе плоской области D, плотность которой равна .

Пример. Вычислить объем V цилиндрического тела, ограниченного двумя параболическими цилиндрами z = 1-y² и x = y² и площадь его основания D, расположенного в плоскости OXY..