Вычисление статических моментов, координат центра тяжести, моментов инерции

Пусть задана плотность вещества плоской материальной области D r(x, y). Выделим элементарную ячейку с массой dm и применим к ней известные формулы для материальной точки:

Статические моменты относительно осей OX, OY dm_x = y dm = y r(x, y) ds,

dm_y = x dm = x r(x, y) ds.

Моменты инерции относительно осей OX, OY dJ_x = y² dm = y² r(x, y) ds,

dJ_y = x² dm = x² r(x, y) ds.

Момент инерции относительно начала координат dJ₀ = dJ_x + dJ_y.

Двойным интегралом по всей области D вычисляем те же характеристики для области D.

, , , , J₀ = J_x + J_y.

Координаты центра тяжести , где - масса области D.

Пример. Вычислить координаты центра тяжести полукруга с заданной плотностью .

(это было ясно заранее, по симметрии полукруга относительно OYи независимости плотности от координаты x).

Поэтому .

Пример. Вычислить момент инерции полукруга с заданной плотностью относительно прямой .

.

Эта формула известна в теоретической механике.