Задача об объеме цилиндрического тела

Галкин С.В.

Краткий курс математического анализа

В лекционном изложении

Для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана

(третий семестр)

Москва 2005.

Часть1 Кратные и криволинейные интегралы, теория поля.

Лекция 1.

Двойной интеграл.

Задача об объеме цилиндрического тела.

К определенному интегралу мы пришли от задачи о площади криволинейной трапеции. К двойному интегралу мы приходим, решая задачу об объеме цилиндрического тела.

- Рассмотрим, например, прямой круговой цилиндр с высотой h и радиусом основания R его объем равен

- Объем цилиндра той же высоты, в основании которого лежит эллипс с полуосями равен .

- Объем цилиндра той же высоты, с площадью основания , равен .

Пусть надо вычислить объем цилиндрического тела, в основании которого лежит область с площадью , а высота изменяется от точки к точке так, что конец ее описывает некоторую поверхность (). Тогда логично разбить область на области малого размера – организовать разбиение области на области – элементы разбиения. На каждом элементе отметим точку M(x,y) и построим над этим элементом прямой круговой цилиндр, высота которого постоянна для всех точек элемента и равна . Вычислим объем этого элементарного цилиндра. Просуммируем объемы всех элементарных цилиндров. Эта сумма и даст приближенно искомый объем цилиндрического тела тем точнее, чем меньше будут размеры элементов разбиения. Этот алгоритм используем для построения двойного интеграла

Двойной интеграл [1]

.

1. Организуем разбиение области D на элементы – области так, чтобы эти элементы не имели общих внутренних точек и (условие А) 2. Отметим на элементах разбиения «отмеченные точки» Mi и вычислим в них значения функции 3. Построим интегральную сумму , где - площадь 4. Переходя к пределу при условии (условие В), получим двойной интеграл как предел интегральных сумм: