Свойства двойного интеграла[5]

1. Линейность
а) свойство суперпозиции . = +

б) свойство однородности . =

Доказательство. Запишем интегральные суммы для интегралов в левых частях равенств. Они равны интегральным суммам для правых частей равенств, так как число слагаемых конечно. Затем перейдем к пределу, по теореме о предельном переходе в равенстве получим желаемый результат.

2. Аддитивность.
Если , то = +

Доказательство. Выберем разбиение области D так, чтобы ни один из элементов разбиения (первоначально и при измельчении разбиения) не содержал одновременно как элементы D₁, так и элементы D₂. Это можно сделать по теореме существования (замечание к теореме). Далее проводится доказательство через интегральные суммы, как в п.1.

3. -площадь области D.

4. Если в области D выполнено неравенство , то (неравенство можно интегрировать).

Доказательство. Запишем неравенство для интегральных сумм и перейдем к пределу.

Заметим, что, в частности, возможно

5. Теорема об оценке.

Если существуют константы , что , то

Доказательство. Интегрируя неравенство (свойство 4), получим . По свойству 1 константы можно вынести из-под интегралов. Используя свойство 3, получим искомый результат.

6. Теорема о среднем (значении интеграла).

Существует точка , что .

Доказательство. Так как функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то существует ее нижняя грань и верхняя грань . Выполнено неравенство . Деля обе части на , получим . Но число заключено между нижней и верхней гранью функции. Так как функция непрерывна на замкнутом ограниченном множестве , то в некоторой точке функция должна принимать это значение. Следовательно, .

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что существует цилиндр постоянной высоты , объем которого равен объему цилиндрического тела