Тема 1. КОМБИНАТОРИКА

Раздел 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

1) Каждый из четырех потоков студентов выбирает по одному представителю в комитет. Сколькими способами это можно сделать, если потоки насчитывают 47, 51, 54 и 55 студентов?

2) Рассмотрим множество чисел 1, 2, 3, 4, 5. а) Сколько трехзначных чисел можно образовать из этого множества, если допускать повторения? б) Сколько из этих чисел окажется меньше 500? В) Сколько окажется чисел, делящихся на 111?

3) Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из слова ЛЕКЦИЯ?

4) Из 30 учащихся группы в течение пары могут быть опрошены 4 различных человека. Сколько возможно комбинаций?

5) Сколько можно провести прямых через данные 9 точек, если никакие три точки не лежат на одной прямой?

6) Сколько различных "слов" можно получить, переставляя буквы в слове: а) ГИПОТЕНУЗА, б) ВОДОВОРОТ?

7) Сколькими способами можно расположить 7 человек за круглым столом, если рассматривать только относительное расположение сидящих друг относительно друга?

8) В базе данных содержится информация на 281150 человек. Каждому решено присвоить свой код, состоящий из двух букв и двух цифр. Хватит ли этих кодов на всех людей?

9) Студент выучил из 60 вопросов 25. В билете 3 вопроса. Студент получает "отл.", если отвечает на три вопроса, "хор." – на два вопроса, "уд." – на 1 вопрос. а) Сколько всего можно составить билетов?

б) Сколько можно составить билетов, за ответ на которые он получит "отл."?

в) Сколько можно составить билетов, за ответ на которые он получит "хор."?

г) А если он хочет получить как минимум "уд."?

д) Сколько билетов, за ответ на которые он получит "неуд."?

10) Сколькими способами можно извлечь из колоды 6 карт (в колоде 36 карт)?

11) В лабораторной клетке содержат 8 белых и 6 коричневых мышей. Найти число способов выбора пяти мышей из клетки, если а) они могут быть любого цвета; б) 3 из них должны быть белыми, 2 – коричневые; в) они должны быть одного цвета.

12) Сколькими способами можно расставить шахматные фигуры (король, ферзь, 2 ладьи, 2 слона, 2 коня) на первой горизонтали шахматной доски?

13) Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, если каждое число должно состоять из 3 четных и 3 нечетных цифр, причем никакие две цифры в нем не повторяются?

14) Сколькими способами можно извлечь из колоды (36 карт): а) 2 туза; б) 4 туза; в) 6 козырей; г) 6 карт одной масти; д) 6 карт: 2 пики, 3 буби, 1 крести; е) 6 карт, среди которых есть все 4 туза; ж) 6 карт, среди которых две "десятки".

15) Сколькими способами 10 человек можно назначить а) на должности секретаря, завхоза и директора; б) на три вакансии зам.директора?

16) Сколько слов с количеством букв от 1 до 4 можно составить, учитывая, что буквы не повторяются?

17) Сколько можно составить шестизначных чисел при условии, что а) цифры могут повторяться; б) цифры не повторяются; в) первые три цифры – четные. (Использовать цифры 1, 2, …, 9).

18) В группе людей находятся 10 женщин и 18 мужчин. Сколькими способами можно составить подгруппу, состоящую из 3 женщин и 3 мужчин?

19) Сколько вариантов размещения 10 человек в очередь при условии, что трое из них окажутся рядом?

20) В партии из 10 деталей 7 стандартных. Сколькими способами можно извлечь 6 деталей так, что а) все будут стандартными; б) 4 окажутся стандартными?

21) Пусть счастливый номер шестизначного телефона – тот, который содержит хотя бы одну "семерку". Сколько всего счастливых телефонов?

22) Нужно присудить первую, вторую и третью премии на конкурсе, в котором принимает участие 20 человек. Сколькими способами можно распределить эти премии?

23) Человек знает, что нужный ему телефон начинается на 367, а среди остальных цифр нет 9 и 0. Сколько может быть таких телефонов?

24) 20 различных деталей раскладывают в 3 ящика, причем в первый ящик кладут 3 детали, во 2-ой – 5 деталей, в 3-ий – остальные детали. Сколькими способами это можно сделать?

25) Сколько различных несократимых дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17? Сколько из них будет правильных дробей?