Поток и дивергенция векторного поля

Пусть – гладкая ориентированная поверхность, ориентация которой определяется её нормалью .

Определение 4. Потоком векторного поля через поверхность называется поверхностный интеграл второго рода

Укажем ещё один способ вычисления поверхностного интеграла второго рода через поверхность, заданную в неявном виде уравнения . Её можно рассматривать как поверхность уровня в скалярном поле , нормаль которого направлена по градиенту в сторону возрастания С. Так как , тогда

. ( 10 )

Выражение (10) представляет собой поверхностный интеграл первого рода. Знак выбирается в зависимости ориентации поверхности.

Пример 15. Найти поток векторного поля через внешнюю поверхность параболоида , отсечённого плоскостью (рис.13).

Рис.37

Решение. Рассмотрим скалярное поле , . Направление градиента F совпадает с направлением нормали :

.

.

По формуле (10) получим

. <

Рассмотрим поток скорости жидкости через поверхность Σ:

.

Если векторы и образуют острый угол, то величина , если – тупой, то . Поэтому поток есть, вообще говоря, не абсолютное количество жидкости, прошедшее через поверхность независимо от направления, а избыток жидкости, протекающей в сторону положительной нормали .

Величину потока поля через замкнутую поверхность можно рассматривать как разность между количеством жидкости, поступающей в область, ограниченную , и вытекающей из неё. Если поток положителен, то жидкости вытекает больше, чем втекает, и наоборот, если отрицателен, то жидкости втекает больше, чем вытекает. Если , может означать, что в области, ограниченной , нет источников и стоков, или их количество таково, что их общая мощность равна нулю.

Величина потока вектора через замкнутую поверхность является интегральной (суммарной) характеристикой поля в V и лишь приближённо позволяет судить о наличии источников и стоков. Удобнее ввести локальную характеристику поля. Такой характеристикой является дивергенция (плотность потока в точке).

Дадим определение дивергенции для произвольного векторного поля в области V. Пусть . Окружим замкнутой поверхностью , которая ограничивает область . Среднее значение потока по есть поток через , делённый на объём :

Определение 5. Дивергенцией векторного поля в точке называется предел средней плотности потока через замкнутую поверхность , окружающую точку , когда поверхность стягивается в точку , если он существует и не зависит от вида поверхности .

, (11)

или

.

Заметим, что это определение дивергенции не зависит от системы координат.

Теорема 8. Если в области определено векторное поле , непрерывное вместе с частными производными , , , то в любой точке , существует и имеет место формула

. ( 12 )

‰ Запишем формулу Остроградского-Гаусса для области , содержащей точку , ограниченную поверхностью , . По теореме о среднем для тройного интеграла имеем, что существует точка , такая, что

.

Подставим это выражение в (12) и, учитывая непрерывность частных производных, получим

. <

Из формулы (12) следует, что формулу Остроградского-Гаусса можно записать в векторном виде. Т.к.

,

то

, (13)

т. е. поток вектора через внешнюю сторону замкнутой поверхности равен тройному интегралу от по области , ограниченной поверхностью . Формула Остроградского-Гаусса в векторном виде (13) не зависит от выбора системы координат, т.е. инвариантна относительно системы координат.

Дивергенцию векторного поля можно записать с помощью оператора Гамильтона:

.

Пример 6. Найти дивергенцию поля в точке .

Решение. Согласно определению дивергенции векторного поля находим

.

Пример 7. Вычислить поток вектора через замкнутую поверхность .

Решение. По определению потока и по формуле (40) будем иметь:

,

т.е. поток радиуса вектора через замкнутую поверхность равен утроенному объёму тела, замкнутого внутри этой поверхности.