Ротор векторного поля

Понятие ротора и его вычисление. С понятием циркуляции тесно связано понятие ротора или вихря. Циркуляция характеризует вращательную способность или завихрённость поля вдоль некоторого контура, а локальной характеристикой поля является ротор.

Рис.8

Рис.38

Рассмотрим сначала плоское векторное поле и какой-либо контур , окружающий выбранную точку (рис. 8). Площадь, ограниченная контуром , равна s. Тогда отношение есть средняя плотность циркуляции вектора на площадке s. Плотность циркуляции в точке характеризуется пределом, когда , т.е.

( 5 )

Если этот предел существует, то он даёт величину завихрённости поля в точке .

Если векторное поле – пространственное, то можно говорить о завихрённости в каком-либо направлении . Проведём через точку плоскость , перпендикулярную выбранному направлению , и рассмотрим в ней какой-либо контур , охватывающий точку (рис.8). Тогда предел (5) даёт завихрённость поля в направлении .

Определение 3. Ротором векторного поля в точке называется вектор, проекция которого на направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по плоскому контуру , перпендикулярному этому направлению, к величине площади , охваченной контуром , когда стягивается в точку .

. (6)

Заметим, что данное определение не зависит от выбора системы координат, т.е. оно инвариантно.

Получим формулу вычисления в декартовой системе координат.

Теорема5. Пусть в каждой точке задано непрерывно дифференцируемое поле . Тогда в точке существует , вычисляемый по формуле:

. ( 7 )

‰ Вычислим сначала проекцию вектора на ось Oz. Пусть – контур, лежащий в плоскости Оху, ограничивающей область G. Воспользуемся формулой Грина (рис. 9)

.

Применим к двойному интегралу теорему о среднем:

Рис.9

,

и подставим последнее в (6):

Аналогично вычисляем проекции на орты и . <

Вектор символически записывается следующим образом:

,

где – оператор Гамильтона.

Легко доказать следующие свойства :

.

.

.

Пример 3. Найти ротор поля скорости твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки с мгновенной угловой скоростью .

Решение. Найдём сначала линейную скорость . Из курса физики известно, что .

.

Тогда

;

.

Таким образом, , характеризуя «вращательную компоненту» поля скоростей, равен удвоенной скорости вращения.

Пример 4. Найти .

Решение.

.

.

Следовательно, вектор параллелен вектору .

С помощью можно обобщить формулу Грина на пространственный случай. Таким обобщением является формула Стокса, которая связывает циркуляцию векторного поля с потоком ротора через поверхность, натянутую на этот контур. При этом говорят, что поверхность можно натянуть на контур , если существует кусочно-гладкая ориентированная поверхность , лежащая в области V и имеющая своей границей.

Трехмерную область V будем называть поверхностно-односвязанной, если на любой контур можно натянуть поверхность , целиком лежащую в V. Примеры поверхностно неодносвязной области – шар, через который проходит цилиндрический туннель.

Рис.10

Рис.40

Пусть – ориентированная поверхность, натянутая на контур рис.10. Нормаль к поверхности выберем таким образом, чтобы направление вектора соответствовало положительному обходу контура . Направление обхода контура будем считать положительным, если при обходе по контуру область остается все время слева. Если смотреть с конца вектора , то обход контура осуществляется против часовой стрелки. В этом случае говорят, что направление обхода и ориентация согласованы.

Теорема 6. (Стокс) Пусть V - поверхностно-односвязаная область, - кусочно-гладкий контур в V и - кусочно-гладкая поверхность, натянутая на и лежащая в V. Пусть в области V задано векторное поле , непрерывное и дифференцируемое в во всех точках области и также непрерывен в V. Тогда циркуляция поля по контуру равна потоку ротора через , т.е. справедлива формула Стокса

, ( 8 )

причём направление обхода и ориентация согласованы.

‰ Разобьём поверхность на n частей , ограниченных контурами , . Рассмотрим i -й элемент поверхности . Возьмём произвольную точку и проведём через неё нормаль и касательную плоскость к . Обозначим через проекцию контура , – площадь поверхности , а через – площадь проекции на . Из определения ротора следует равенство

.

При достаточно мелком разбиении это равенство будет справедливо для контура поверхности , т.е.

.

Суммируя последнее равенство по всем , получим

. ( 9 )

Рис.11

При объединении двух соседних участков поверхностей и , в соответствии с правилом согласования направления обхода контура и нормали, их общая часть границы обходиться в противоположных направлениях (рис. 11).

.

Суммируя контурные интегралы по всем i, получаем интеграл по общему контуру, т.е. . Тогда (9) принимает вид

.

Сумма в правой части является интегральной для поверхностного интеграла . Переходя здесь к пределу при , получим формулу Стокса (8). <

Замечание. Из формулы Стокса следует, что если и – две поверхности, натянутые на контур , то потоки поля через них равны.

Теорема 7. (необходимое и достаточное условие потенциальности векторного поля) Для того, чтобы непрерывно дифференцируемое векторное поле было потенциальным в поверхностно-односвязанной области V необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым, т.е. .

‰ Необходимость. Пусть поле потенциально, тогда существует его потенциал , т.е. . Получаем

.

Достаточность. Пусть поле безвихревое поле, т.е. для любой точки . Так как область V поверхностно-односвязная, то по теореме Стокса для произвольного контура существует интеграл , который не зависит от пути интегрирования, т.е. кривой, соединяющей точки и . Если точка зафиксирована, то интеграл является функцией . Обозначим её

.

Покажем, что . Так как интеграл не зависит от формы пути интегрирования, то

, т.к. .

В качестве пути интегрирования взят отрезок, параллельный оси Ох, согласно определению производной, теоремы о среднем, а также в силу непрерывности , получаем

.

Аналогично показывается, что и , следовательно . <

Пример 5. Показать, что поле потенциально и найти его потенциал.

Решение.

.

Так как , то поле потенциально. Найдем потенциал поля .

Фиксируем точку , рассмотрим произвольную точку . Тогда .

Рис.12

Линию интегрирования (в силу независимости такого интеграла от форму пути) выберем в виде ломанной (рис.12), где отрезок параллелен оси Ох, отрезок – оси Оу, а отрезок – оси Оz. Вдоль имеем , , а следовательно, . Вдоль постоянно и , откуда , а вдоль обе переменные и – постоянны, а это значит, что . Тогда

.