Работа векторного поля. Циркуляция

Дадим физическую интерпретацию криволинейного интеграла второго рода. Если в некоторой области задано непрерывное силовое поле , то при перемещении материальной точки вдоль гладкой ориентированной кривой L поле совершает некоторую работу А. Для её определения разобьём линию L на дуг точками , , …, (рис. 16). Пусть произвольная точка дуги . Обозначим – единичный вектор касательной L в этой точке и – длину дуги .

Рис.5

Работу на дуге можно приближённо вычислить с помощью скалярного произведения . Тогда приближённо работа есть .

За работу А на всей кривой L естественно принять предел

.

Если этот предел существует, то он является криволинейным интегралом I рода от скалярной функции , т.е. это криволинейный интеграл II рода. Таким образом, работа А по перемещению материальной точки в непрерывном силовом поле выражается криволинейным интегралом II рода:

. (2)

Покажем, что работа поля вдоль любой векторной линии этого поля отлична от нуля. Пусть L – векторная линия, тогда вектор параллелен . Тогда скалярное произведение , тогда , причём кривая может быть замкнутой.

Определение 1. Работа векторного поля вдоль замкнутой кривой L называется циркуляцией этого поля:

.

Рис.6

Физически её можно интерпретировать следующим образом. Пусть – поле скоростей текущей жидкости. Поместим в это поле колёсико с лопастями, расположенными по окружности L этого колеса (рис.6). Частицы жидкости, действуя на эти лопасти, будут создавать вращательные моменты, суммарное действие которых приводит колесо в движение – вращение вокруг своей оси. Вращательное действие поля в каждой точке будет характеризоваться проекцией на касательную , т.е. скалярным произведением . Суммирование вращательных действий жидкости по всему контуру колёсика приводит к понятию циркуляции вектора .

Физический смысл циркуляции: циркуляция векторного поля определяет его вращательную способность в данном направлении и характеризует завихрённость поля в этом направлении. Чем меньше угол между касательной и вектором поля, тем больше С, а следовательно и завихрённость.

Пример 2. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль замкнутого контура , являющегося границей части сферы , расположенной в первом октанте: , , , причем направление обхода контура таково, что в плоскости Оху движение происходит от точки к .

Решение. Контур состоит из трех кривых , каждая из которых является дугой единичной окружности, лежащей соответственно в координатной плоскости Оху, Оуz, Oxz. Поэтому ,

.

Найдем интеграл по кривой . Так как кривая лежит в плоскости Оху, то , и , где , , . Запишем параметрическое уравнение : , , . Получаем

.

Точно так же вычисляются интегралы и . При этом . Следовательно, .