Потенциальное векторное поле

Определение 2. Векторное поле называется потенциальным в области , если существует такое скалярное поле , что для всех точек этой области вектор-функция является градиентом этого скалярного поля :

.

Скалярное поле называется потенциалом векторного поля . Потенциальное поле является одним из наиболее простых полей, так как определяется одной скалярной функцией , в то время как произвольное векторное поле – тремя скалярными функциями .

Теорема 1. Если поле потенциально, то его потенциал определяется однозначно с точностью до произвольного постоянного слагаемого.

‰ Пусть поле имеет два потенциала и , т.е. и . Тогда и, следовательно, . Таким образом, получаем, что . <

Теорема 2. Если поле потенциально в области V, то работа этого поля (криволинейный интеграл второго рода) не зависит от формы пути, соединяющий две любые точки из V. Потенциал с точностью до произвольной постоянной определяется криволинейным интегралом второго рода , взятому по произвольной кривой , соединяющей точки и , где – фиксированная точка, а – текущая точка.

‰ Работа А поля по некоторому пути L, соединяющему точки и , вычисляется по формуле (11):

.

Поле потенциально, тогда существует потенциал , причем . Тогда скалярное произведение

,

Для простоты преобразований пусть плоская кривая, заданная параметрическими уравнениями , , , причем начало в точке , которой соответствует значение параметра , а конечной точки соответствует значение параметра , т.е. , . Тогда

=

.

Т.е потенциал определяется по формуле

(3)

Откуда следует, что работа не зависит от формы пути, а зависит от положения начальной и конечной точек. <

Задача отыскания потенциала поля тесно связано с задачей восстановления функции трёх переменных по её полному дифференциалу.

Теорема 3. Пусть векторное поле задано функцией , которая непрерывно дифференцируема в области . Для того, чтобы выражение

( 4 )

было полным дифференциалом некоторой функции , необходимо и достаточно, чтобы поле было потенциальным.

‰ Необходимость. Пусть (4) есть полный дифференциал , то с одной стороны по определению , а с другой стороны , откуда . Т.е. , а, следовательно, – потенциальное поле.

Достаточность. Пусть – потенциально, тогда существует функция , такая, что . По определению градиента , , , тогда получаем . <

Для того, чтобы найти функцию по её полному дифференциалу необходимо применить формулу (3), т.е. с точностью до произвольного постоянного слагаемого вычислить криволинейный интеграл по любой кривой, соединяющей две точки и т.е.

.

Теперь естественно возникает вопрос: когда, при каких условиях векторное поле является потенциальным?

Теорема 4. Для того чтобы работа векторного поля не зависела от формы пути, соединяющего две точки в области, необходимо и достаточно, чтобы циркуляция по любому замкнутому контуру, лежащему в этой области, была равна нулю.

‰ Необходимость. Пусть работа не зависит от пути. Возьмём контур (рис. 10.18).

Рис.7

,

Рис.18

.

Достаточность. Пусть , тогда . Получаем

,

т.е. работа не зависит от пути. <