Достаточный признак выпуклости, вогнутости графика функции. Точки перегиба

График функции называется выпуклым на интервале если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции называется вогнутым на интервале , если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

На рисунке показана кривая, выпуклая на и вогнутая на .

Теорема. Пусть дифференцируема на . Если во всех точках интервала вторая производная функции отрицательная, т.е. , то график функции на этом интервале выпуклый, если же – вогнутый.

Доказательство. Предположим для определенности, что и докажем, что график функции будет выпуклым.

Возьмем на графике функции произвольную точку M₀ с абсциссой и проведем через точку M₀ касательную. Ее уравнение . Мы должны показать, что график функции на лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении x ордината кривой будет меньше ордината касательной.

Итак, уравнение кривой имеет вид . Обозначим ординату касательной, соответствующую абсциссе . Тогда . Следовательно, разность ординат кривой и касательной при одном и том же значении x будет .

Разность преобразуем по теореме Лагранжа , где c между x и x₀.

Таким образом,

К выражению, стоящему в квадратных скобках снова применим теорему Лагранжа: , где между и . По условию теоремы . Определим знак произведения второго и третьего сомножителей.

1. Предположим, что . Тогда , следовательно, Поэтому .

2. Пусть , следовательно, этому вновь .

Таким образом, любая точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях и , а это значит, что кривая выпукла. Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Теорема. Пусть кривая определяется уравнением . Если не существует и при переходе через значение производная меняет знак, то точка графика функции с абсциссой есть точка перегиба.

Доказательство. Пусть при при Тогда при кривая выпукла, а при – вогнута. Следовательно, точка A, лежащая на кривой, с абсциссой есть точка перегиба. Аналогично можно рассматривать второй случай, когда .

Таким образом, точки перегиба следует искать только среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль или не существует.