Второй достаточный признак экстремума функции с использованием второй производной

Если в точке первая производная функции обращается в нуль, а её вторая производная отлична от нуля, то в точке функция достигает экстремума (минимума, если , и максимума, если ). Предполагается, что непрерывна в точке x₀ и ее окрестности.

Доказательство. Докажем необходимость условия существования максимума. Пусть .
Так как непрерывна, то в достаточно малом интервале вторая производная положительна: . Это означает, что возрастает в этом интервале. Так как при этом в интервале в интервале .
Таким образом, функция убывает в интервале и возрастает в интервале . Поэтому в точке x₀ функция имеет минимум. Аналогично доказывается достаточность условия существования максимума. На рисунке функция имеет в точке x₁минимум, в точке x₂ - максимум.