Производящие функции в описании свойств случайной величины

Понятие производящих функций встречается в комбинаторике. Идея механизма производящих функций из комбинаторики, которые позволили упростить перечисление множества объектов.

Различают степенные и моментные производящие функции.

Производящей моментной функцией ПМФ дискретной целочисленной случайной величины z, принимающей значения z=0,1,2…, называют функцию, которая есть математическое ожидание от случайной величины . S – формальная переменная.

- сумма реализаций самой случайной величины.

Вероятность того, что принять какое-то значение.

Получим функцию, зависящую от распределения S случайной величины. Переходим от набора чисел к функции, которая отражает особенности появления случайной величины на оси z. Мы заменяем неопределенность определенной функцией.

ПМФ – это детерминированная функция аргумента S, она является обобщенным представлением особенности самой случайной величины и вероятностных свойств ее. Если ПМФ известна, то можно найти начальный момент k-го порядка по правилу:

Начальный момент k-го порядка случайной величины z равен k-й произвольной от ПМФ по S, при S=0, то, что получаем и будет k-й момент. Что бы найти математическое ожидание нужно взять момент первого порядка – это степенная производящая функция СПФ.

, где z-та же случайная величина.

СПФ – это математическое ожидание от S в степени. Применяя СПФ, получим общее описание распределения, которое можно заменить одной функцией и работать с ней как с зависимостью изображения от частоты.

Характеристическая функция (ХФ). Вводится для описания особенностей непрерывной величины. С точки зрения математики ХФ – это преобразование Фурье.

f(x) – плотность распределения

w – частота.

Если возьмем первую производную от характеристической функции.

Если возьмем первую производную от характеристической функции по w, w положим равным 0, то в итоге получим математическое ожидание, умноженную на комплексную единицу, можно разделить производную на j, тогда получим результат, который нас интересует.

ХФ используется для описания случайных величин.