Свойства векторного произведения векторов

1) Векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю.

.

2) Антикоммутативность: .

3) Ассоциативность относительно скалярного множителя:

().

4) Дистрибутивность: .

Таблица векторного умножения ортонормированного базиса , , .

.

Для запоминания можно воспользоваться круговым правилом:

Если перемещаться последовательно от одного к другому вектору против хода часовой стрелки, то следующий вектор надо писать со знаком (+), а по ходу стрелки следующий вектор со знаком (-).

Пример 12. Даны точки , , , .

Найти векторное произведение и его модуль.

Решение. Найдем

, ,

,

По формуле векторного произведения, имеем

.
Таким образом, векторное произведение имеет координаты:

, а его модуль

.

Пример 13. Даны точки , , .

Найти площадь треугольника .

Решение. Найдем , .

Векторное произведение и его модуль найдем как.

,

, .

Применив формулу площади для треугольника , построенного на векторах и , запишем . Отсюда получаем, что (кв. ед.).

Пример 14. Найти , если , , , .

Решение. Используя свойства векторного произведения, упростим конструкцию вектора , а именно:

.

Так как , то . Следовательно,

.

Теперь по формуле модуля векторного произведения, получаем

.

Пример 15. Зная векторы и , вычислите длину высоты треугольника (см. рис).

Решение. Обозначая площадь треугольника через , получим:

. Тогда , . С другой стороны, площадь треугольника определяется через векторное произведение как: .

Длину стороны найдем из равенства: . Значит, вектор имеет координаты .

.

Следовательно, модуль этого векторного произведения равен:

,

Откуда

.

Пример 16. Даны два вектора и . Найдите единичный вектор , ортогональный векторам и и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов , , была правой.

Решение. Обозначим координаты вектора относительно данного правого ортонормированного базиса через .

Поскольку , и , то , . По условию задачи требуется, чтобы и .

Имеем систему уравнений для нахождения :

Из второго уравнения системы получим: . Подставим в первое

.

Подставляя и в третье уравнение, будем иметь: , откуда .

Используя условие , получим неравенство

Или

Отсюда

С учетом выражений для и перепишем полученное неравенство в виде: , откуда следует, что . Итак, , , .