Угол между двумя векторами

Из определения скалярного произведения:

.

Условие ортогональности двух векторов:

Условие коллинеарности двух векторов:

.

Следует из определения 5 -. Действительно, из определения произведения вектора на число, следует. Поэтому, исходя из правила равенства векторов, запишем,,, откуда вытекает. Но вектор, получившийся в результате умножения вектора на число, коллинеарен вектору.

Проекция вектора на вектор:

.

Пример 4. Даны точки , , , .

Найти скалярное произведение .

Решение. найдем по формуле скалярного произведения векторов, заданных своими координатами. Поскольку

, ,

,

то .

Пример 5. Даны точки , , , .

Найти проекцию .

Решение. Поскольку

, ,

,

то и .

На основании формулы проекции, имеем

.

Пример 6. Даны точки , , , .

Найти угол между векторами и .

Решение. Заметим, что вектора

, ,

,

не являются коллинеарными, поскольку не пропорциональны их координаты:

.

Эти вектора не являются также перпендикулярными, так как их скалярное произведение .

Найдем ,

Угол найдем из формулы:

.

Пример 7. Определить при каких вектора и коллинеарны.

Решение. В случае коллинеарности, соответствующие координаты векторов и должны быть пропорциональны, то есть:

.

Отсюда и .

Пример 8. Определить, при каком значении вектора и перпендикулярны.

Решение. Вектора и перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Из этого условия получаем: . Стало быть, .

Пример 9. Найти , если , , .

Решение. В силу свойств скалярного произведения, имеем:

Пример 10. Найдите угол между векторами и , где и - единичные векторы и угол между векторами и равен 120^о.

Решение. Имеем: , ,

Значит

Значит

Окончательно имеем: .