Линейные операции над векторами

К линейным операциям над векторами относятся операции умножения вектора на число и сложение векторов.

Определение 5. Под произведением вектора на число понимается вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) ;

2) вектор коллинеарен вектору ();

3) векторы и направлены одинаково, если и противоположно, если .

Произведение вектора на число обозначается .

Замечание 1. Пусть , рассмотрим вектор , тогда . Векторы и коллинеарные и одинаково направлены, тогда - единичный вектор, сонаправленный с . Вектор - орт вектора , и обозначается ⁰, т.е. и или .

Замечание 2. Пусть дан вектор . Для любого коллинеарного ему вектора существует и притом одно число , удовлетворяющее равенству . Тогда и , если и одинаково направлены и , если они противоположно направлены.

Определение 6. Суммой двух векторов и , приведенных к общему началу, является диагональ параллелограмма ( см. рис. 1), построенного на этих векторах как на сторонах (правило параллелограмма). Правило треугольника:

начало следующего вектора поместить в конец предыдущего и вектор, соединяющий начало первого с концом последнего есть вектор суммы (см. рис. 2).

Чтобы сложить несколько векторов, достаточно начало каждого последующего вектора совместить с концом предыдущего, тогда замыкающий вектор, идущий из начала первого в конец последнего, будет вектором суммы (правило многоугольника см. рис. 3).

Если точка совпадает с точкой , то сумма векторов равна нулю.

Определение 7. Вектором, противоположным к данному вектору , называется вектор , модуль которого равен модулю вектора , а направление противоположно (см. рис. 4).

Определение 8. Под разностью двух векторов и понимается такой третий вектор , который при сложении с вычитаемым вектором дает уменьшаемый вектор .

Правило построения разности векторов и :

Приводим векторы и к общему началу, и соединяем концы векторов и . Вектор разности направлен из конца вычитаемого вектора () в конец уменьшаемого вектора ( см. рис. 5).