Раздел 2 Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Вопросы для подготовки к коллоквиуму

1. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной, ее геометрический, механический смысл.

2. Вывод производной основных элементарных функций.

3. Правила дифференцирования. Таблица производных основных элементарных функций.

4. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции. Производная сложной функции, заданной неявно, логарифмическое дифференцирование. Производные высших порядков.

5. Уравнение касательной.

6. Дифференциал функции. Применение дифференциалов функции.

7. Геометрический смысл дифференциала.

8. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя (случай ).

9. Формула Тейлора, Маклорена.

10. Экономический смысл производной.

11. Монотонность, экстремумы функции. Необходимые и достаточные условия монотонности функции.

12. Определение экстремума функции. Необходимое условие гладкого экстремума. Достаточное условие экстремума. Второе достаточное условие экстремума. Примеры на экономическое содержание. Наибольшее и наименьшее значения функции.

13. Выпуклость графика функции. Определение. Необходимое и достаточное условия выпуклости.

14. Точки перегиба графика функции. Необходимое условие перегиба. Достаточное условие перегиба.

15. Асимптоты графика функции. Определение. Вертикальные, наклонные асимптоты. Алгоритм нахождения наклонных асимптот.

16. Схема исследования функции. Пример.

Задания для аудиторной самостоятельной работы

1. Вычислить производную.

1)

2) 3)

4)

5)

6)

7)

8) Найти , если

2. Показать, что функция удовлетворяет уравнению

3. Провести полное исследование функций и построить их графики.

4. Составить уравнение касательной к графику функции

5. Вычислить предел, используя правило Лопиталя.

1) 2) 3)

6. Представьте функцию в виде многочлена четвертой степени относительно двучлена х-1.

7. Представьте функцию в виде многочлена второй степени относительно двучлена х-2.

8. Разложить число 12 на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.

9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-3;2].

Индивидуальное домашнее задание

Задание № 1. Вычислить производную функций:

Вариант	1 пример	2 пример	4 пример	5 пример
	y=x5-3 +2/x4	y=sinx2∙3x+1	у=хlnx	ух+ех/у=0
	y=x8-5 +3/x3	y=(lnx2)∙(1/2)x+1	y=(sinx)cosx	y/x+1/exy=0
	y=x4-4 +2/x2	y=tg2x∙ex+1	y=	arctg(xy)-x/y=0
	y=x7-3 +3/x4	y=ctg3x∙3x-1	y=x	y+xtgy+ex=2
	y=x10-6 +4/x1/2	y=(lnx)∙arcsin	y=	y-xctgy+2ex=0
	y=x12-3 +2/x3/2	y=(lnx)∙arccos	y=(arcsinx)	+ln(x+y)=x2
	y=x3-6 +5/x1/2	y=(log2x)∙arcsin	y=xarctgx	x/y-y6-3y=1
	y=x3-2 +1/x1/3	y=(log3x)∙arctg	y=(3x2+3x-1)x	0=xylnx+ arcsiny
	y=x11-9 +3/x3/2	y=(log3x)∙arcctg	у=(х+1)lnx	y=ln(3x2+ )
	y=x10-15 +4/x3/4	y=ln(sinx)∙	y=xx+1	у+х+ех/у=0
	у=(х2+1/х3)	y=ln(cosx)∙	y=(x2+3x+1)x	yх+tgy+ex=2
	у=(х4+1/х2)	y=ln(tgx)∙cosx2	y=xarcsinx	+ln(x+y)=x2
	у=(х3-1/х4)	y=ln(ctgx)∙	y=(cosx)sinx	arctg(x+y)-x/y=0
	у=(х4-1/х2)	y=sin2x∙ln(x+1)	y=x2(x+1)	xy-y6+2y=1
	у=(х2+1/х3)/	y=cos2x∙arctgx	y=xlnx-1	y=ln(3ex+ )
	у=(х4+1/х2)/	y=tgx3∙(1/2)x+1	y=(x-1)ln(x+1)	+ln(x+y)=1
	у=(х3-1/х4)/	y=sinx3∙2x+1		0=x+ylnx+ arcsiny
	у=(х4-1/х2)/	y=cos3x∙(1/3)x+1	y=	yх+ctgy+ex=2
	y=x5(3 +2/x4)	y=сtg2x∙ex+2	y=	y-х+cosy+ex=2
	y=x8(5 +3/x3)	y=tg3x∙5x-1		y/х+siny+ex=3
	y=x4(4 +2/x2)	y=(ln2x)∙arсtg	y=(cosx)tgx	y-xarcsiny+ex=0
	y=x7(3 +3/x4)	y=(lnx)6∙arccos	y=(tgx)ctgx
	y=x10(6 +4/x1/2)	y=(log2x)∙arcctg	y=(lnx-1)х	y-x+ ex arcsiny=0
	y=(x12-3 )/x3/2	y=(log3x)2∙arcsin	y=(xx+1)х	arсctg(xy)-x/y2=0
	y=(x3-6 )/x1/2	y=(lnx)4∙arccos
	y=(x3-2 )/x1/3	y=ln(sinx)∙( +1)		y/х+tgy+ex=3
	y=(x11-9 )3/x3/2	y=(cosx)3∙		+ln(x+y)=1
	y=(x10-15 )4/x3/4	y=(1+tgx)∙cosx2		yx+ex/arcsiny=0
	у=х2+1/х3-2	y=(2+ctgx)∙	y=(xx)(1+х)	sin(x/y)-y6-3y=1
	у=х4+1/х2-3	y=sin2x∙ln(x2+1)	y=(xx)(1-2х)	tg(x/y)-y-2y=0

Задание 2. Вычислить предел, используя правило Лопиталя.

№ вар	Задание 1	Задание 2

Задание № 3. Исследовать функцию по общей схеме и построить график.

Вариант	Задание	Вариант	Задание	Вариант	Задание
	у=		у=		у =
	у =		у =		у =
	у=		у=		у=
	у = х – ln x		у =		у=
	у =		у=		у=
	у=		у=		у=
	у=		у=		у=
	у=		у=		у =
	у =		у=		у=
	у = ln (x2-4х+8)		у =		у=

Задание № 4.

1. Необходимо изготовить закрытый цилиндрический бак объемом V. Каким должен быть его радиус и высота, чтобы на изготовление бака ушло наименьшее количество материала?

2. Какого диаметра надо взять круг, чтобы в него можно было вписать прямоугольник с периметром, равным 40 см и наибольшей площадью? Чему равна площадь искомого прямоугольника?

3. Найти размеры цилиндра, вписанного в шар радиуса R, имеющего наибольшую боковую поверхность.

4. Решеткой длиной 120 м нужно огородить прилегающую к дому прямоугольную площадку наибольшей площади. Определить размеры прямоугольной площадки.

5. Нужно из круглого листа жести вырезать сектор, чтобы, свернув его, получить воронку наибольшей вместимости. Найти объм полученной воронки.

6. Чтобы огородить клумбу, которая должна иметь форму кругового сектора, имеется кусок проволоки длиной 20 м. Какой следует взять радиус круга, чтобы площадь клумбы была наибольшей? Найти площадь клумбы.

7. Требуется построить открытый цилиндрический резервуар вместимостью V. Материал имеет толщину d. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы расход материала был наименьший?

8. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

9. Банка данного объема V имеет форму цилиндра. Каково должно быть соотношение его размеров (высоты h и диаметра d=2R), чтобы на изготовление пошло минимальное количество жести?

10. Сечение туннеля имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Площадь сечения туннеля S=357 . Каковы должны быть ширина и высота прямоугольника, чтобы периметр сечения был наименьшим?

11. Прочность балки прямоугольного сечения пропорциональна ширине балки и квадрату ее высоты. Из бревна, диаметр которого 30 см, необходимо изготовить балку наибольшей прочности. Определить стороны прямоугольника наибольшей прочности.

12. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб. При каком угле наклона стенок площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?

13. Из квадратного листа жести со стороной 60 см надо изготовить открытую сверху коробку. Для этой цели по углам листа вырезают равные квадратики, и образовавшиеся края загибают кверху. Какого размера следует сделать вырезы, чтобы полученная коробка имела наибольшую вместимость?

14. Найти высоту конуса наименьшего объема, описанного около данного шара радиуса r?

15. Поперечное сечение открытого канала имеет форму равнобедренной трапеции. При каком наклоне φ боковых сторон «Мокрый» периметр сечения будет наименьшим, если площадь «живого» сечения воды в канале равна S, а уровень воды равен h.

16. Доход от производства продукции с использованием х единиц ресурсов составляет величину . Стоимость единицы ресурсов составляет 10 усл. ед. Какое количество ресурсов следует приобрести, чтобы прибыль была наибольшей?

17. Если собрать урожай в начале августа, то с каждой сотки можно получить 200 кг раннего картофеля и реализовать его по 12 рублей за килограмм. Отсрочка уборки на каждую неделю ведет к увеличению урожайности на 50 кг с одной сотки, но цена картофеля за килограмм при этом падает на 2 р. Когда следует собрать картофель, чтобы доход от его продажи был максимальным, если срок уборки составляет 5 недель?

18. В прямоугольный треугольник, катеты которого 4 и 8 см вписывается прямоугольник так, что один из углов его совпадает с прямым углом треугольника. Требуется, чтобы этот прямоугольник имел наибольшую площадь. Каковы должны быть размеры такого прямоугольника?

19. Два коридора шириной 2,4 м и 1,6 м пересекаются под прямым углом. Определить наибольшую длину лестницы, которую можно перенести (горизонтально) из одного коридора в другой.

20. Описать около данного цилиндра радиуса r и высотой h конус наименьшего объема, считая, что плоскости и центры круговых оснований цилиндра и конуса совпадают.

21. Прямоугольный участок разделен перегородкой, параллельной меньшей из сторон прямоугольника. Стоимость установки внешнего ограждения составляет 900 р за метр, а перегородки – 1600 р за метр. Общая площадь участка 153 . Определить размеры участка, минимизирующие стоимость строительства ограждения.

22. В полукруг радиуса R вписан прямоугольник наибольшей площади. Определить его размеры.

23. Из всех прямоугольников данного периметра найти тот, у которого площадь наибольшая.

24. Требуется вырыть яму цилиндрической формы с круглым основанием и вертикальной боковой поверхностью заданного объема V=25 . Каковы должны быть линейные размеры ямы (радиус и высота), чтобы на облицовку ее дна и боковой поверхности пошло наименьшее количество материала?

25. Требуется огородить прямоугольную площадь вдоль уже выстроенной стены. Стоимость ограждения стороны, параллельной стене, равна 60 р за метр; стоимость ограждения двух других сторон составляет 90 р за метр. Какая максимальная площадь может быть огорожена, если имеется всего 10800 рублей?

26. В полукруг вписана трапеция, основание которой есть диаметр полукруга. Определить угол трапеции при основании так, чтобы площадь трапеции была наибольшей.

27. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Задан периметр Р этой фигуры. При каких размерах прямоугольника окно будет пропускать наибольшее количество света?

28. Требуется огородить забором прямоугольный участок земли площадью в 294 и разделить затем этот участок забором на две равные части. При каких линейных размерах участка длина всего забора будет наименьшей?

29. Найти наибольший объем цилиндра, вписанного в данный конус.

30. Найти максимальную прибыль, которую может получить фирма-производитель, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу р и известен вид функции издержек С(х): , р=10,5.