![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Степенным рядом называется функциональный ряд вида , где
- действительные числа. Числа
называются коэффициентами ряда.
Всякий степенной ряд сходится в точке .
Радиусом сходимости степенного ряда называется число
такое, что при
ряд сходится (и притом абсолютно), а при
расходится. Интервал
при этом называется интервалом сходимости ряда. На концах интервала сходимости, т.е. в точках
, ряд может как сходится, так и расходится.
Областью сходимости степенного ряда является интервал сходимости , к которому присоединяются точки
, если в них ряд сходится. В частности, радиус сходимости
может быть равен
, тогда область сходимости ряда состоит из одной точки
, и
, тогда областью сходимости ряда является вся числовая прямая).
Интервал сходимости определяют обычно с помощью признаков Даламбера или Коши (радикального), вычисляя пределы
или
и решая неравенство
.
Внутри общего интервала сходимости степенные ряды можно почленно складывать и вычитать, полученные при этом ряды имеют тот же интервал сходимости:
.
Внутри интервала сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать, полученные при этом ряды имеют тот же интервал сходимости:
1) ;
2) .
Степенной ряд называется рядом Тейлора функции
в точке
. При
ряд Тейлора называется рядом Маклорена:
.
Представление функции в виде
, называется разложением
в ряд Тейлора. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда остаток ряда
при
для всех
из некоторой окрестности точки
, входящей в интервал сходимости ряда. Для оценки остатка ряда Тейлора часто пользуются формулой
, где
.
При разложении функций в степенные ряды, как правило, используют основные разложения элементарных функций в ряд Маклорена). Иногда при разложении используют почленное дифференцирование или интегрирование. При разложении в степенные ряды рациональных дробей рекомендуется представлять их в виде суммы простейших дробей.
Тема 22. Тригонометричекий ряд. Ряд Фурье.
Тригонометрическим рядом Фурье функции на отрезке
называется функциональный ряд вида
, где числа
и
, называемые коэффициентами Фурье функции
, вычисляются по формулам:
,
,
.
Функция называется кусочно-монотонной на отрезке
, если этот отрезок можно разбить конечным числом точек
на интервалы
так, что на каждом из интервалов функция либо только возрастает, либо только убывает, либо постоянна.
Если функция на отрезке
кусочно-монотонна и непрерывна, за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода, то во всякой точке
, в которой
непрерывна, функцию можно разложить в тригонометрический ряд Фурье
. В точках разрыва
функции
и точках
сумма ряда Фурье определяется формулами
и
.
В частности, если: 1) функция - чётная, то в точках
непрерывности функции имеет место разложение
,где
,
;
2) функция - нечётная, то в точках
непрерывности функции имеет место разложение
, где
,
.
Если функция задана только в интервале
, то её можно продолжить в интервал
либо как чётную, либо как нечётную, а затем разложить её в интервале
в неполный ряд Фурье по синусам или по косинусам.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 230 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!