Решение. а1)Находим функцию прибыли

а1) Находим функцию прибыли

.

а2) Находим оптимальное значение выпуска продукции, при котором производитель получит максимальную прибыль, т.е. находим при каком значении выпуска продукции функция прибыли примет наибольшее значение на промежутке .

Если функция одной переменной на промежутке имеет единственную точку локального экстремума , являющуюся точкой локального максимума, то в точке функция принимает своё наибольшее значение на промежутке .

Для решения данной задачи находим производную функции :

и определяем её критические точки (точки возможного локального экстремума), принадлежащие промежутку , т.е. точки в которых или не существует: , точек в которых не существует нет. Таким образом, единственной критической точкой функции на промежутке является точка .

Так как при и при , то точка - является точкой локального максимума и, следовательно, точкой в которой функция на промежутке принимает наибольшее значение .

Итак, оптимальное значение объёма выпускаемой продукции составляет 5 единиц, при этом максимальная прибыль составляет 50 ден.ед.

б) Находим средние издержки производства и прибыль при :

;

.

Итак, в расчёте на единицу выпускаемой продукции издержки производства составляют 90 ден.ед., а прибыль – 10 ден.ед.

в) Находим эластичность издержек производства и прибыли при :

.

.

Итак, при увеличении объёма выпуска продукции на 1%, издержки производства увеличатся на 1.11%, а прибыль не изменится.

Ответ: а) , ; б) , ;

в) , .