А) ; б) ; в)

Вычисление предела , где , всегда начинают с подстановки в предельного значения её аргумента . Если в результате получают неопределённость или , то для её раскрытия применяют правило Лопиталя: , где и - функции, дифференцируемые в окрестности . В некоторых случаях может потребоваться неоднократное применение данного правила. На каждом этапе его применения следует использовать, упрощающие отношение, тождественные преобразования, а также комбинировать это правило с любыми другими известными приёмами вычисления пределов. Раскрытие неопределённостей вида: , , , , путём преобразований: , , сводят к раскрытию неопределенностей вида или .

Решение.

а) , где

,

Тогда .

б) , где

,

.

Тогда . Применяем правило Лопиталя ещё раз: , где

,

= .

Тогда .

в) . Преобразуем данную неопределённость (приведением разности дробей к общему знаменателю) к виду , после чего применим правило Лопиталя. Получим

= , где

,

.

Тогда .

Применяем правило Лопиталя ещё раз:

, где ,

.

В итоге получим .

Ответ:

а) ; б) ;в) .

51-60. Для указанной функции требуется:

а) провести полное исследование функции и построить её график; б) найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке ;

в) составить уравнение касательной к графику функции в точке .