Производная сложной функции. Теорема.Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f

Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

Тогда

Доказательство.

(с учетом того, что если Dx®0, то Du®0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)

Тогда

Теорема доказана.

Пример 8.4. Найти производную функции .

По полученной выше формуле получаем:

Производные этих функций:

Окончательно:

Пример 8.5 Найти производную сложной функции y= ,
u=x⁴ +1.

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, получим: y'_x =y '_u u'_x =()'_u(x⁴ +1)'_x =(2u + . Так как u=x⁴ +1,то
(2 x⁴ +2+ .