Тема. Производная функции

Задача о касательной. Пусть на плоскости Оху дана непре­рывная кривая у=f(х) и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке M₀ (х_0,y₀) (Рис. 8.1).

Прежде всего необхо­димо выяснить, что мы будем понимать под каса­тельной к кривой. Каса­тельную нельзя опреде­лить как прямую, имею­щую с кривой одну об­щую точку. В самом деле, прямая (1) на рис. 8.2а имеет одну общую точку с кривой (2), но не явля­ется

касательной к ней. А прямая (3) на рис. 8.26, хотя имеет две общие точки с кривой (4), оче­видно, касается ее в точке А. Поэтому для определе­ния касательной к кривой должен быть реализован другой подход.

Рис 8.2

Дадим аргументу х₀ приращение х и перейдем на кривой y=f(x) от точки М₀(х₀; f(х₀)) к точке М₁(х₀ + х; f(х₀ + х)). Проведем секущую М₀М₁ (см.рис. 8.1).

Под касательной к кривой у=f(х) в точке М_о естественно по­нимать предельное положение секущей М₀М₁ при приближении точки М₁ к точке М_о, т.е. при хà0.

Уравнение прямой, проходящей через точку М_о, имеет вид

y-f(xo)=k(x-x_o).

Угловой коэффициент (или тангенс угла наклона) секущей

может быть найден из (см. рис. 8.1). Тогда угловой коэффициент касательной

k= = (8.1)

Оставим на время задачу о касательной и рассмотрим другую

задачу.