Тема. Непрерывность функции в точке

Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Тот же факт можно записать иначе:

Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, но не является непрерывной в самой точке х₀, то она называется разрывной функцией, а точка х₀ – точкой разрыва.

Пример непрерывной функции:

y

f(x₀)+e

f(x₀)

f(x₀)-e

0 x₀-D x₀ x₀+D x

Пример разрывной функции:

y

f(x₀)+e

f(x₀)

f(x₀)-e

x₀ x

Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любого положительного числа e>0 существует такое число D>0, что для любых х, удовлетворяющих условию

верно неравенство .

Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х₀, если приращение функции в точке х₀ является бесконечно малой величиной.

f(x) = f(x₀) + a(x)

где a(х) – бесконечно малая при х®х₀.