Теоремы сложения и умножения вероятностей. Таблица 1 – Теоремы сложения и умножения вероятностей

Таблица 1 – Теоремы сложения и умножения вероятностей

, то есть – сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Пример 1. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность того, что первый стрелок попадет в мишень, равна 0,9; второй – 0,7; третий – 0,5. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадут:

а) все три стрелка;

б) только один стрелок;

в) только два стрелка;

г) хотя бы один стрелок.

Решение. Введем события – первый стрелок попал в мишень,

– второй стрелок попал в мишень,

– третий стрелок попал в мишень.

а) Событие А – все три стрелка попали в мишень:

.

независимые события

.

б) Событие В – попал только один стрелок:

.

слагаемые – несовместные события

в) Событие С – попали только два стрелка:

.

г) Событие D – хотя бы один стрелок попал в мишень.

совместные события

или

несовместные события

В этом случае нахождение становится громоздким. Поэтому удобнее D представить как сумму несовместных событий А, В, С (см. пункты а, б, в):

несовместные события

.

Следует отметить, что этот способ удобен лишь в случае, когда вероятности событий А, В и С уже известны.

В общем случае удобнее решать через противоположное событие. Имеем D – попал хотя бы один стрелок, тогда – ни один стрелок не попал в мишень.

.

Пример 2. В корзине 12 яблок, из них 5 поражены болезнью в скрытой форме. Наудачу берут последовательно 3 яблока. Какова вероятность, что все 3 яблока окажутся больными, если после проверки яблоки в корзину не возвращались?

Решение. 1 способ. Введем элементарные события – первое взятое яблоко оказалось больным, – второе взятое яблоко оказалось больным, – третье взятое яблоко оказалось больным. Событие А – все три взятых яблока оказались больными:

.

В данной ситуации события , , – зависимые, так как яблоки в корзину не возвращались. Тогда

.

2 способ. Эту задачу можно решить по классическому определению вероятности, используя комбинаторику:

.

Пример 3. Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньшей 0,3, можно было ожидать, что ни на одной из выпавших граней не появится шесть очков.

Решение. Введем обозначение событий:

А – ни на одной из выпавших граней не появится 6 очков,

– на выпавшей грани i -ой кости () не появится 6 очков.

Интересующее нас событие А состоит из совмещений событий , ,…, , то есть . Вероятность того, что на любой выпавшей грани появится число очков, не равное шести, равна . События независимы в совокупности, поэтому применима теорема умножения:

.

По условию . Следовательно, . Отсюда, учитывая, что , найдем . Так как п – натуральное число, то этому неравенству удовлетворяют значения . Если бросить не менее семи игральных костей, то вероятность, что ни на одной из выпавших граней не выпадет шесть очков, будет менее 0,3.