Вероятности события. Непосредственный подсчет вероятности

Классическое определение вероятности. Вероятностью события А называют отношение

,

где п – число всех равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу попарно несовместных событий, т – число исходов, благоприятствующих событию А из п равновозможных исходов.

Из определения следует, что .

Статистическое определение вероятности. Пусть данный опыт при одних и тех же условиях повторяют N раз (серия опытов) и событие А произошло М раз. Тогда величину

называют относительной частотой или частостью события А. При увеличении числа опытов N частость приближается к , поэтому на практике считают

.

Геометрическое определение вероятности. Пусть отрезок . На отрезке L наудачу выбирается точка. Тогда вероятность события А – попадания точки на отрезок l равна

.

Аналогично

,

.

Пример 1. В урне 4 красных, 3 белых и 5 синих шаров. Наудачу извлекают 1 шар. Какова вероятность, что извлекли белый шар?

Решение. Введем событие А – из урны извлечен белый шар. Используем классическое определение вероятности события . Всего в урне шаров, то есть (число всех равновозможных элементарных исходов). Из них 3 белых шара, поэтому (число благоприятствующих исходов). Тогда

.

Пример 2. Задумано двузначное число. Какова вероятность того, что оно содержит хотя бы одну цифру 5?

Решение. Обозначим событие А – задуманное (выбранное наугад) число содержит хотя бы одну цифру 5. Всего двузначных чисел:

Из них содержат цифру 5:

Тогда

.

Пример 3. Обозначим событие А – из трех пойманных рыб все 3 меченые. В водоеме 6 меченых и 4 немеченых рыбы. Случайным образом отлавливают 3 рыбы, не возвращая их обратно. Вычислить вероятность того, что все 3 рыбы – меченые. Что означает на практике полученный результат?

Решение. Количество равновозможных событий при отлове 3 рыб из 10 рыб равно . Из них благоприятствующих событий . Значит,

.

С точки зрения статистического определения вероятности имеем:

,

то есть если из данного водоема 1000 раз отлавливать 3 рыбы, то примерно 167 раз все 3 рыбы будут меченые.

Пример 4. В корзине 3 красных и 2 зеленых яблока. Наудачу выбирают 3 яблока. Какова вероятность того, что среди выбранных яблок 2 красных?

Решение. Обозначим событие А – среди выбранных 3 яблок 2 яблока красные. Количество равновозможных событий .

Обозначим красные яблоки – , , , зеленые – , . Благоприятствующими являются комбинации, содержащие 2 красных и 1 зеленое яблоко.

.

Следовательно, .

Пример 5. Стрелок делает 70 выстрелов, из них 12 промахов. Какова вероятность попадания в мишень?

Решение. Событие А – это попадание в мишень при одном выстреле. Так как исходы «попал в мишень», «не попал в мишень» не являются равновозможными, то классическое определение вероятности применить нельзя. Тогда используем статистическое определение вероятности события . Здесь – общее число испытаний, – число попаданий в мишень. Тогда

.

Пример 6. Даны точки и . На отрезок АВ наудачу бросают точку. Какова вероятность, что точка попадет на отрезок ?

Решение.

–3 –1 3 10

А С D В х

Рисунок 1

Введем событие А – точка, брошенная на отрезок АВ, попадет на отрезок CD. Используем геометрическое определение вероятности события . Найдем длины отрезков АВ и CD. Используем формулу

.

В нашем случае , значит

, где .

Тогда

.