Факторный анализ. Одним из наиболее распространенных методов многомерного анализа является факторный анализ

Одним из наиболее распространенных методов многомерного анализа является факторный анализ.

При исследовании сложных объектов и их систем (в психологии, биологии, социологии и т. д.) часто невозможно непосредственно измерить величины, определяющие свойства этих объектов (так называемые факторы), а иногда неизвестны даже количество и смысл факторов, поэтому производят измерения величин, зависящих от последних. Для обнаружения влияющих на измеряемые переменные факторов используются методы факторного анализа. Например, изучение различных свойств личности, которые не поддаются прямому измерению, происходит с помощью психологических тестов. Затем тестовые баллы подвергаются факторному анализу, который позволяет выявить личностные свойства, оказавшие влияние на поведение испытуемых.

Опишем в общих чертах схему факторного анализа. Вычисляют коэффициенты корреляции между всевозможными парами переменных и составляют из них интеркорреляционную матрицу (в ней справа и сверху цифрами обозначены изученные в эксперименте переменные, а внутри показаны их корреляции друг с другом; поскольку всевозможных пар в данном случае меньше, чем клеток матрицы, то заполняется только часть матрицы, расположенная выше её главной диагонали). Приведем пример:

Анализ корреляционной матрицы показывает, что переменная 1 значительно коррелирует с переменными 2 и 3; переменная 2 достоверно коррелирует с переменной 3, а переменная 3 – с переменной 4.

Задача факторного анализа является как бы обратной по отношению к задаче умножения двух матриц, одна из которых является столбцом, а другая – строкой. Она сводится к тому, чтобы по уже имеющейся матрице парных корреляций отыскать одинаковые, по включенным в них числам, столбец и строку, умножение которых друг на друга порождает корреляционную матрицу. Иллюстрация:

Здесь х ₁, х ₂, х ₃ и х ₄ – искомые числа. Для их определения существуют специальные математические процедуры и программы для ЭВМ.

Допустим, что мы уже нашли эти числа: х ₁ = 0,45, х ₂ = 0,36, х ₃ = 1,12 и х ₄ = 0,67. Совокупность найденных чисел и называется фактором, а сами эти числа – факторными весами ли нагрузками.

От факторов можно перейти к содержательной интерпретации обнаруженных статистических закономерностей. Фактор содержит в себе ту же самую информацию, что и вся корреляционная матрица, а факторные нагрузки соответствуют коэффициентам корреляции. В нашем примере переменная х ₃ имеет наибольшую факторную нагрузку (1,12), а х ₂ – наименьшую (0,36). Следовательно, влияние х ₃ на все переменные является наиболее значимым, а влияние х ₂ – наименее значимым. Из корреляционной матрицы видно, что связи переменной х ₃ со всеми остальными являются наиболее сильными (от 0,40 до 0,75), а переменной х ₂ – самыми слабыми (от 0,16 до 0,40).

Чаще всего в итоге факторного анализа определяются не один, а несколько факторов, по-разному объясняющих матрицу интеркорреляции переменных. В таком случае факторы делят на генеральные, общие и единичные. Генеральными называются факторы, все факторные нагрузки которых значительно отличаются от нуля (нуль нагрузки свидетельствует о том, что данная переменная никак не связана с остальными и не оказывает на них никакого влияния). Общие – это факторы, у которых часть факторных нагрузок отлична от нуля. Единичные – это факторы, у которых существенно отличается от нуля только одна из нагрузок. На рис. 3.8 схематически представлена структура факторного отображения переменных в факторах различной степени общности. Отрезки, соединяющие факторы с переменными, указывают на высокие факторные нагрузки.