Перестановки. Определение. Размещения из n элементов по nэлементов называются перестановками из n элементов

Определение. Размещения из n элементов по nэлементов называются перестановками из n элементов.

Перестановки являются частным случаем размещений. Число перестановок из n элементов обозначают через Р_n. Р – первая буква французского слова permutation – перестановка.

Исходя из вышеизложенного, .

Примеры.

1) Установить n, если

Решение. решая квадратное уравнение получаем n = 11.

2) Сколько шестизначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры не повторяются.

Решение. для того, чтобы число, составленное из заданных цифр делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы цифра 5 стояла на последнем месте. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти, равно

1.3. Сочетания

Определение. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов.

Подмножества, отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов, не считаются различными.

Например, для четырехэлементного множества a, b, c, d сочетаниями по 3 элемента являются следующие подмножества:

abc, abd, bcd, acd

Число всех сочетаний из n элементов по k элементов обозначается символом . С – первая буква французского слова combination – сочетание. Из примера ясно, что . Таким образом, или

.

Примеры.

1) Решить неравенство .

Решение. Исходя из определения

разделим обе части неравенства на выражение получим

откуда следовательно, .

2) Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 7 членов, можно образовать из 14 преподавателей?

Решение. Исходя из определения сочетания, получим