Решение. Пусть Z = X+Y, где φ1(x)= 1 при 0 ≤ х ≤ 1 и φ2(у) = 1 при 0 ≤ у ≤1

Пусть Z = X+Y, где φ₁ (x)= 1 при 0 ≤ х ≤ 1 и φ₂(у) = 1 при 0 ≤ у ≤1.

По формуле (5.49) плотность вероятности:

Если z < 0, то для 0 ≤ x ≤ 1 z - x < 0; если z > 2, то для 0 ≤ x ≤ 1 z - x > 1, следовательно, в этих случаях φ₂ (z - x) = 0 и φ (z) = 0.

Пусть 0 ≤ z ≤ 2. Подынтегральная функция φ₂ (z - x) будет отлична от нуля только для значений х, при которых 0 ≤ z - x ≤ 1 или, что то же самое, при z -1 ≤ x ≤ z.

Если 0 ≤ z ≤ 1, то .

Если 1 ≤ z ≤ 2, то .

Объединяя все случаи, получим:

(5.60)

Закон распределения (5.60) называется законом распределения Симпсона или законом равнобедренного треугольника (рис. 5.16).

Вычисление φ(z) можно было провести и иначе: вначале найти функцию распределения F(z), а затем – ее производную, т.е. φ(z) = F' (z). Преимущество такого подхода состоит в возможности использования геометрической интерпретации функции F (z) как площади S_D области D – части квадрата (со стороной, равной 1), лежащей левее и ниже прямой у = z - х (рис. 5.17).

Действительно (см. рис. 5.17), при 0 ≤ z ≤1 S_D = z²/2 (площадь заштрихованного треугольника со стороной z), а при 1 ≤ z ≤ 2 S_D = 1 - (2 - z)²/2 (площадь квадрата без площади незаштрихованного треугольника, сторона которого, как нетрудно показать, равна (2 – z). Следовательно,

и выражение (5.60) для φ(z) получается дифференцированием F(z).

Задания

5.1. Закон распределения двумерной дискретной случайной величины (X,Y) задан в табл. 5.3.

Таблица 5.3

yi xi
-1	0,02	0,03	0,09	0,01
	0,04	0,20	0,16	0,10
	0,05	0,10	0,15	0,05

Найти:

а) законы распределения одномерных случайных величин Х и Y;

б) условные законы распределения случайной величины X при условии Y = 2 и случайной величины Y при условии Х = 1;

в) вероятность P(Y > X).

5.2. Рассматривается двумерная случайная величина (X,Y), где X – поставка сырья, Y – поступление требования на него. Известно, что поступление сырья и поступление требования на него могут произойти в любой день месяца (30 дней) с равной вероятностью. Определить:

а) выражение совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины (Х,У),

б) плотности вероятности и функции распределения одномерных составляющих X и Y;

в) зависимы или независимы X и Y;

г) вероятности того, что поставка сырья произойдет до и после поступления требования.

5.3. Двумерная случайная величина (X,Y) распределена равномерно внутри квадрата R с центром в начале координат. Стороны квадрата равны корень2и составляют углы 45° с осями координат. Определить:

а) выражение совместной плотности двумерной случайной величины (X,Y);

б) плотности вероятности одномерных составляющих X и Y;

в) их условные плотности;

г) зависимыили независимы Х и Y.

5.4. Даны плотности вероятности независимых составляющих двумерной случайной величины (X,Y):

Найти выражение совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины.

В примерах 5.14–5.16 определить:

а) ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин X и Y,

б) коррелированы или некоррелированы эти случайные величины.

5.5. Использовать данные примера 5.10.

5.6. Использовать данные примера 5.11.

5.7. Использовать данные примера 5.12.

5.8. Случайная величина X распределена на всей числовой оси с плотностью вероятности φ (х) = 0,5е^-│Х│. Найти плотность вероятности случайной величины Y = X² и ее математическое ожидание.

5.9. Найти закон распределения суммы двух независимых случайных величин, каждая из которых распределена по стандартному нормальному закону, т.е. N (0,1).

5.10. Двумерная случайная величина определяется следующим образом. Если при подбрасывании игральной кости выпадает четное число очков, то Х = 1, в противном случае X = 0; Y = 1, когда число очков кратно трем, в противном случае Y=0. Найти:

а) законы распределения двумерной случайной величины (X, Y) и ее одномерных составляющих;

б) условные законы распределения Х и Y.

5.11. Двумерная случайная величина (X, Y) распределена с постоянной совместной плотностью внутри квадрата ОАВС, где O(0;0), A(0;1), B(1;1), С(1;0). Найти выражение совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины (X, Y).

5.12. Поверхность распределения двумерной случайной величины (X, Y) представляет прямой круговой конус, основанием которого служит круг с центром в начале координат и с радиусом 1. Вне этого круга совместная плотность двумерной случайной величины (X, Y) равна нулю. Найти выражения совместной плотности φ (х, у), плотностей вероятностей одномерных составляющих φ₁ (x), φ₂ (y), условных плотностей φ_x (y), φy (x). Выяснить, являются ли случайные величины X и Y. зависимыми; коррелированными.

5.13. Двумерная случайная величина (X, Y) распределена по закону

Найти:

а) коэффициент А;

б) вероятность попадания случайной величины (X, Y) в пределы квадрата, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и имеют длину 2.

Установить, являются ли величины X и Y зависимыми; найти φ₁ (х), φ₂(y).

5.14. Совместная плотность двумерной случайной величины (X, У) имеет вид

Найти:

а) постоянную С;

б) плотности вероятности одномерных составляющих;

в) их условные плотности;

г) числовые характеристики а_х, а_у, D(Х), D(Y), ρ.

5.15. Найти совместную плотность двумерной случайной величины (X, Y) и вероятность ее попадания в область D – прямоугольник, ограниченный прямыми х = 1, х = 2, у = 3, у = 5,если известна ее функция распределения (X, Y):

5.16. Задана совместная плотность двумерной случайной величины (X, Y):

.

Найти функцию распределения F (x, y).

5.17. Имеются независимые случайные величины X и Y. Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами а_х = 0, . Случайная величина Y распределена равномерно на интервале (0;1). Найти выражения совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины (X, Y).

5.18. Совместная плотность двумерной случайной величины (X, Y) задана формулой:

Найти a_x, a_y, , , ρ.

5.19. Независимые случайные величины X, Y распределены по нормальным законам с параметрами a_x = 2, a_y = -3, = 1, = 4. Найти вероятности событий:

а) (X < a_x)(Y < a_y);

б) Y < X -5;

в)(│ X │< 1)(│ Y │< 2).

5.20. Задана плотность вероятности φ (х) случайной величины Х, принимающей только положительные значения. Найти плотность вероятности случайной величины Y, если:

а) Y = e^-x;

б) Y = ln X;

в) Y = X ³;

г) Y = 1/ X ²;

д) Y = .

5.21. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (-π/2; π/2). Найти плотность вероятности случайной величины Y = sin X.

5.22. Случайная величина распределена по закону Релея с плотностью вероятности

Найти закон распределения случайной величины Y = .

5.23. Случайная величина Х распределена по закону Коши с плотностью вероятности

.

Найти плотность вероятности обратной величины Y = 1/ X.

5.24. Дискретная случайная величина Х имеет ряд распределения

xi	-1
pi	0,2	0,1	0,3	0,4

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y= 2^х

5.25. Имеются две случайные величины X и Y, связанные соотношением Y = 2 – ЗХ. Числовые характеристики случайной величины X заданы а_х= -1; D(X) = 4. Найти:

а) математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y;

б) ковариацию и коэффициент корреляции случайной величин Х и Y.

5.26. Случайная величина X задана плотностью вероятности φ(x) = cosx в интервале (0, π/2); вне этого интервала φ(x) = 0. Найти математическое ожидание случайной величины Y= X².

5.27. Случайная величина X распределена с постоянной плотностью вероятности в интервале (1;2) и нулевой плотностью вне этого интервала. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y = 1 /x

5.28. Непрерывная случайная величина X распределена в интервале (0;1) по закону с плотностью вероятности

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y= X².

5.29. Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону с параметром Х = 2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y= e^-X.

5.30. Случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами а = 0, σ ² = 5. Найти математическое ожидание случайной величины Y =1 - ЗХ² + 4Х³.

5.31. Имеются две независимые случайные величины X и Y. Величина X распределена по нормальному закону с параметрами а_х= 1, = 4. Величина Yраспределена равномерно в интервале (0;2). Найти:

а) М(Х - У), D(Х - Y);

б) M(X²), M(Y²).

ГЛАВА