Решение. а) Найдем условную плотность φy(x) по формуле (5.22), учитывая, что φ2(y) ≠ 0

а) Найдем условную плотность φ_y (x) по формуле (5.22), учитывая, что φ₂ (y) ≠ 0.

График φ_y (x) при y = 1/2 показан на рис. 5.11.

Аналогично

б) X и Y – независимые случайные величины, так как φ (x, y) ≠ φ₁ (x) φ₂ (y) или φ_y (x) ≠ φ₁ (x), φ_х (y) ≠ φ₂ (y).

в) Найдем условное математическое ожидание M_x (Y), учитывая, что .

Аналогично

Этот результат очевиден в силу того, что круг x² + y² ≤ 1 (рис.5.5) симметричен относительно координатных осей. Таким образом, линия регрессии Y по X совпадает с осью Ох (М_х (Y) = 0), а линия регрессии X по Y – с осью Оу (М_у (Х) = 0).

Найдем условную дисперсию D_x (Y):

(Тот же результат можно получить проще – по формуле дисперсии равномерного закона распределения:

)

Аналогично

Таким образом, по мере удаления от начала координат дисперсия условных распределений уменьшается от 1/3 до 0.