Решение. Примеры решений типовых задач

CoolReferat.com

Кремер Н.Ш.

Теория вероятностей

Примеры решений типовых задач

и задания для студентов
1 ГЛАВА

Основные понятия и теоремы теории вероятностей

В главе рассматриваются:

- классификация событий;

- классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности;

- непосредственное вычисление вероятностей;

- действия над событиями;

- теоремы сложения и умножения вероятностей;

- формула Байеса.

Типовые задачи

Пример 1.1

Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9; третий – 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы:

а) только 2-й экзамен;

б) только один экзамен;

в) три экзамена;

г) по крайней мере два экзамена;

д) хотя бы один экзамен.

Решение

а) Обозначим события: Ai – студент сдаст i -йэкзамен (i = 1, 2, 3);

В – студент сдаст только 2-й экзамен из трех.

Очевидно, что В = , т.е. совместное осуществление трех событий, состоящих в том, что студент сдаст 2-й экзамен и не сдаст 1-й и 3-й экзамены. Учитывая, что события A₁, А₂, А₃ независимы, получим

б) Пусть событие С – студент сдаст один экзамен из трех. Очевидно, событие С произойдет, если студент сдаст только 1-й экзамен из трех, или только 2-й, или только 3-й, т.е.

в) Пусть событие D – студент сдаст все три экзамена, т.е. D = A₁A₂A₃. Тогда

г) Пусть событие Е – студент сдаст по крайней мере два экзамена (иначе: «хотя бы два» экзамена или «не менее двух» экзаменов). Очевидно, что событие Е означает сдачу любых двух экзаменов из трех либо всех трех экзаменов, т.е.

и

д) Пусть событие F – студент сдал хотя бы один экзамен (иначе: «не менее одного» экзамена). Очевидно, событие F представляет сумму событий С (включающего три варианта) и Е (четыре варианта), т.е. F = А₁ + А₂ + А₃ = С + Е (семь вариантов). Однако проще найти вероятность события F, если перейти к противоположному событию, включающему всего один вариант – F = , т.е. применить формулу (1.27).

Итак,

т.е. сдача хотя бы одного экзамена из трех является событием практически достоверным.