Вычисление пределов

Рассмотрим . Если подставить в выражение значение х=3, то получим неопределенность вида . Чтобы вычислить данный предел, надо преобразовать тождественным образом выражение, стоящее под знаком предела:

при .

Выражение х +3 совпадает с исходным при всех значениях х, кроме х =3, и не содержит неопределенность. Тогда, поскольку функция, стоящая под знаком предела, может быть не определена в самой предельной точке, справедливо равенство .

Пример 1. Вычислить при значениях: х₀ = 1, х₀ = -4, х₀ = 4, а также при .

Функция определена при всех значениях х кроме х =4 и х = -4. Тогда при , согласно (2) получим:

.

При знаменатель является величиной б.м., а числитель конечной, тогда, согласно свойствам (3), имеем .

При и числитель, и знаменатель обращаются в нуль, т.е. имеет место неопределенность вида . Выполним преобразования, тождественные при , т.е. выделим в числителе и знаменателе сомножитель (х+ 4) и сократим на него дробь. Полученное выражение не будет содержать неопределенность:

.

При и числитель и знаменатель являются б.б. величинами, т.е. имеет место неопределенность . Разделим слагаемые числителя и знаменателя на х² (2- старшая степень среди степеней всех слагаемых числителя и знаменателя), а затем воспользуемся свойствами (1) и (3):

.

Указанный способ устранения неопределенности вида при основан на том, что , где С – постоянная, а > 0.

Аналогично вычисляются пределы:

;

.

Выше были рассмотрены простейшие примеры вычисления пределов. В более сложных случаях следует применять другие приёмы раскрытия неопределенностей, в частности, использовать, так называемые, замечательные пределы:

;

; ,

Где е =2,718281828459045…. а

Пример 2. Вычислить .

Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела таким образом, чтобы можно было применить замечательные пределы 1 и 3:

Введём новые переменные: при ; , тогда последнее выражение можно переписать:

.