Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Производная и дифференциал



Напомним определение основного понятия дифференциального исчисления – производной.

Пусть х0 фиксированное значение аргумента функции f(x), определенной на промежутке Х. Придадим значению х0, отличное от нуля приращение ∆ х такое, что х0 +∆ х тоже принадлежит Х. Отметим, что приращение ∆ х может быть любого знака. Приращению ∆ х соответствует приращение функции ∆ f(х0)=f(х0 +∆ х) - f(х0). Тогда, если существует конечный предел отношения приращения∆ f(х0) функции f(x) к приращению аргумента ∆ х при стремлении ∆ х к нулю, то он называется производной функции f(x) в точке х0 и обозначается f′(х0):

. (4)

Полученная по формуле (4) производная f′(х0) – число. Если предел в (4) равен бесконечности, то говорят, что функция f(x) имеет в точке х0 бесконечную производную. Возможен также случай, когда предел (4) не существует.

Из курса физики известно, что если за время ∆t = t - t0 пройдено расстояние ∆S, то средняя скорость за время равна , а предел является скоростью движения в момент t0, которую называют мгновенной скоростью .

Тогда для произвольной функции f(x) отношение - средняя скорость изменения функции f(x) при изменении аргумента на величину ∆ х, а - есть мгновенная скорость изменения функции f(x) при значении аргумента х0.

Например, если функция у=f(x) описывает зависимость полных издержек производства у от объема выпускаемой продукции х, то - себестоимость продукции при данном объеме производства х0.

Если предел (4) существует для всех значений х из Х, то каждому х можно сопоставить значение предела и тем самым задать новую функцию, которую называют производной функции f(x) и обозначается . Возможны и другие обозначения производной, например, . Индекс х в указывает переменную, по которой вычисляется производная.

Поскольку является функцией, то от нее тоже можно взять производную , которая будет производной второго порядка или второй производной (или ) от исходной функции f(x). Аналогично , где и - производные n -го (n -1) –го порядка, соответственно.

Обратимся к геометрическому смыслу производной. Выберем на графике функции f(x) (Рис.6) две точки и , абсциссы которых отличаются на приращение ∆ х, а ординаты, соответственно на Проведем секущую через точки М0 и М и обозначим , отсчитанный против часовой стрелки угол, который секущая образует с положительным направлением оси абсцисс. При стремлении ∆ х к нулю точка М, перемещаясь по графику функции, стремится к точке М0, при этом секущая ММ0, поворачивается вокруг точки М0 и стремится занять предельное положение касательной, проведенной к графику функции через точку М0. Обозначим угол, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс. Тогда из треугольника ∆ М0КМ имеем:

Рис.6

.

Следовательно, если производная функции f(x) в точке х 0 существует и конечна, то ее значение равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке .

Как видно из рис.6, приращение функции , соответствующее приращению аргумента , равно приращению ординаты кривой

.

Из геометрического смысла производной и свойств треугольника ∆ М0КМ следует, что приращение ординаты касательной равно

.

Из рис.6 видно, что отрезок МК не равен отрезку NK, т.е. не равно . Можно показать, что если в точке х функция f(x) имеет конечную производную, то справедливо равенство

.

где - бесконечно малая величина при . Линейная по часть приращения называется дифференциалом функции и обозначается df, т.е. . Если то (см. ниже табл. производных), так что , т.е. дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением. Тогда для дифференциала df функции f(x) имеем

. (5)

Именно так обычно и записывается дифференциал первого порядка или просто дифференциал. Помимо дифференциалов первого порядка можно определить дифференциалы высших порядков:

.

Производная любой функции может быть вычислена по определению (4). Однако, вычисления значительно упрощаются, если применять правила дифференцирования и таблицу производных, содержащую производные от элементарных функций. Эти производные можно получить по формуле (4).

Таблица производных





Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 411 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.009 с)...