Производная и дифференциал

Напомним определение основного понятия дифференциального исчисления – производной.

Пусть х₀ фиксированное значение аргумента функции f(x), определенной на промежутке Х. Придадим значению х₀, отличное от нуля приращение ∆ х такое, что х₀ +∆ х тоже принадлежит Х. Отметим, что приращение ∆ х может быть любого знака. Приращению ∆ х соответствует приращение функции ∆ f(х₀)=f(х₀ +∆ х) - f(х₀). Тогда, если существует конечный предел отношения приращения∆ f(х₀) функции f(x) к приращению аргумента ∆ х при стремлении ∆ х к нулю, то он называется производной функции f(x) в точке х₀ и обозначается f′(х₀):

. (4)

Полученная по формуле (4) производная f′(х₀) – число. Если предел в (4) равен бесконечности, то говорят, что функция f(x) имеет в точке х₀ бесконечную производную. Возможен также случай, когда предел (4) не существует.

Из курса физики известно, что если за время ∆t = t - t₀ пройдено расстояние ∆S, то средняя скорость за время равна , а предел является скоростью движения в момент t₀, которую называют мгновенной скоростью .

Тогда для произвольной функции f(x) отношение - средняя скорость изменения функции f(x) при изменении аргумента на величину ∆ х, а - есть мгновенная скорость изменения функции f(x) при значении аргумента х₀.

Например, если функция у=f(x) описывает зависимость полных издержек производства у от объема выпускаемой продукции х, то - себестоимость продукции при данном объеме производства х₀.

Если предел (4) существует для всех значений х из Х, то каждому х можно сопоставить значение предела и тем самым задать новую функцию, которую называют производной функции f(x) и обозначается . Возможны и другие обозначения производной, например, . Индекс х в указывает переменную, по которой вычисляется производная.

Поскольку является функцией, то от нее тоже можно взять производную , которая будет производной второго порядка или второй производной (или ) от исходной функции f(x). Аналогично , где и - производные n -го (n -1) –го порядка, соответственно.

Обратимся к геометрическому смыслу производной. Выберем на графике функции f(x) (Рис.6) две точки и , абсциссы которых отличаются на приращение ∆ х, а ординаты, соответственно на Проведем секущую через точки М₀ и М и обозначим , отсчитанный против часовой стрелки угол, который секущая образует с положительным направлением оси абсцисс. При стремлении ∆ х к нулю точка М, перемещаясь по графику функции, стремится к точке М₀, при этом секущая ММ₀, поворачивается вокруг точки М₀ и стремится занять предельное положение касательной, проведенной к графику функции через точку М₀. Обозначим угол, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс. Тогда из треугольника ∆ М₀КМ имеем:

Рис.6

.

Следовательно, если производная функции f(x) в точке х ₀ существует и конечна, то ее значение равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке .

Как видно из рис.6, приращение функции , соответствующее приращению аргумента , равно приращению ординаты кривой

.

Из геометрического смысла производной и свойств треугольника ∆ М₀КМ следует, что приращение ординаты касательной равно

.

Из рис.6 видно, что отрезок МК не равен отрезку NK, т.е. не равно . Можно показать, что если в точке х функция f(x) имеет конечную производную, то справедливо равенство

.

где - бесконечно малая величина при . Линейная по часть приращения называется дифференциалом функции и обозначается df, т.е. . Если то (см. ниже табл. производных), так что , т.е. дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением. Тогда для дифференциала df функции f(x) имеем

. (5)

Именно так обычно и записывается дифференциал первого порядка или просто дифференциал. Помимо дифференциалов первого порядка можно определить дифференциалы высших порядков:

.

Производная любой функции может быть вычислена по определению (4). Однако, вычисления значительно упрощаются, если применять правила дифференцирования и таблицу производных, содержащую производные от элементарных функций. Эти производные можно получить по формуле (4).

Таблица производных