Понятие производной

Рассмотрим задачу, которая приводит к понятию производной. Пусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент t₀. За период от t₀ до t₀+D t количество продукции изменится от u(t₀) до u₀+D u = u(t₀+D t). Тогда средняя производительность труда за этот период z = D u/D t, поэтому производительность труда в момент t₀

z = lim_{D t ® 0}D u/ D t.

Определение 1 (производная). Производной функции y = f(x) в фиксированной точке x называется предел

lim_{D x ® 0}D y/ D x

при условии существования этого предела.

Производная обозначается следующим образом f'(x) или y'.

Пример 1. Вычислить производную функции y = sin x. Найдем приращение функции:

D y = sin(x+ D x)-sin x = 2sin(D x/ 2) cos (x+ D x/ 2).

По определению производной

(sin x) ' = lim_{D x ® 0}D y/ D x = lim_{D x ® 0}(cos (x+ D x/ 2)(sin D x/ 2) / (D x/ 2)) = =cos x,

так как

lim_{D x ® 0}cos (x+ D x/ 2) = cos x.

Таким образом,

(sin x) ' = cos x.

Определение 2. Правой (левой) производной называется правый (левый) предел

lim_{D x ® 0 + 0}D y/ D x

lim_{D x ® 0 - 0}D y/ D x,

если эти пределы существуют.

Для обозначения правой (левой) производной используют символ: f'(x+0) f'(x-0). Необходимым и достаточным условием существования производной является равенство f'(x+0) = f'(x-0).

Пример 2. Доказать, что f(x) = 3|x|+1 не имеет производной в точке x = 0. Составим D y = 3(0+D x)+1-1=3D x при D x>0. При D x<0 D y = -3(0+D x)+1-1=-3D x, значит,

lim_{D x ® 0-0}D y/ D x =- 3, lim_{D x ® 0+0}D y/ D x = 3.

Поэтому данная функция не имеет производной в точке x = 0.