Вогнутость

Кривая называется вогнутой (выпуклой) кверху на отрезке ab, если она лежит ниже любой касательной в любой точке отрезка ab.

Теорема 1(необх. усл. выпуклости(вогнутости)).

Пусть y= f(x) непрерывна и дважды дифференцируема:

если y= f(x) вогнута кверху => f ́ ́(x)≤0,

если y= f(x) вогнута книзу => f ́ ́(x) ≥0.

Иллюстрация-док.

x<x=>α<α=>tg α<tgα=>f ́(x)< f ́(x)

=>f ́(x)↑=> f ́ ́(x)≥0

=> f ́(x)↓=> f ́ ́(x)≤0

Теорема 2 (дост. усл. выпуклости(вогнутости)).

y= f(x) непрерывна и дважды дифференцируема,

f ́(x)>0=>y= f(x) вогнута книзу

f ́(x)<0=>y= f(x) вогнута кверху

Док.

y= f(x) – кривая

Y>y справа

Y>y слева

y= f(x)+ f ́(x)(x-x) – касат.

Y-y>0-?

Y-y=f(x)- f(x)+f ́(x)(x-x)=- f ́(c)(x-x)+ f ́(x)(x-x)=-f ́ ́(c)(c-x)(x-x)>0