Экстремумы

Опред.y=f(x) oпределена в U(x)

x – точка максимума f(x), если f(x)< f(x) для любого хЄU(x)

Теорема 1(необх. усл. э кстремума).

Пусть y= f(x) непрерывна и дифференцируема в U(x)

x – точка э кстремума=>f ́(x)=0

Док.

x – точка минимума f(x)=> f(x +∆x)> f(x)

∆y=f(x +∆x)-f(x)>0

∆x>0=>∆y/∆x>0=>lim (∆y/∆x)≥0; f ́(x)≥0;

∆x<0=>∆y/∆x<0=>lim (∆y/∆x)≤0; f ́(x) ≤0;

0≤f ́(x)≤0=>f ́(x)=0

Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными.

Точки, в которых производная равна нулю или имеет разрыв, называются критическими точками функции.

Теорема 2(дост. усл. э кстремума).

y= f(x) непрерывна в U(x) и дифференцируема в

x – критическая точка, если

f ́(x)<0, x<x =>x - точка минимума

f ́(x)>0, x>x

f ́(x)<0, x>x =>x - точка максимума

f ́(x)>0, x<x

Док.

1) x<x f(x)-f(x)= f ́(c)(x -x)>0

2) x>x f(x)-f(x)= f ́(c)(x -x)<0 =>f(x)>f(x)=>x - точка максимума.

Теорема 3(Исследование на э кстремум с помощью второй производной).

y= f(x), f ́(x) и f ́ ́ непрерывны в U(x)

f ́(x)=0, f ́ ́(x)<0=>x - точка максимума, f ́ ́(x)>0=>x – точка минимума

Док.

f ́ ́(x)<0=> f ́ ́(x)<0, xЄU(x)

f ́(x)=>x ↓ - точка максимума