Геометрический смысл производной. (фиксированная точка)

(фиксированная точка)

(текущая)

Касательная (предельное положение секущей)

то

- уравнение касательной

- уравнение прямой

- нормали

Дифференцируемость функции. Дифференциал.

определена в

Опр.

Т.

диф. в

Д.

в

- б/м

=A

=

Опр.

Диф. лин. часть примера

Геометрический смысл диап.

- уравнение касательной

Применение диф. прибл. к функции

Свойства дифференциалов:

1)

2)

3)

4)

5)

6)Форма дифференциала инвариантна (неизменна)

Д.

Производные и дифференциалы высших порядков.

1)x – нед. пер.

, если x – недов. перем.

2)

- формула

Производная первой функции

Основные теоремы дифференциального исчисления

Т. Ферма

Пусть ф. непрерывна на , диф. на достигает своего наибольшего и наименьшего значения:

Д.

Т. Ролля.

непрерывна на , диф. на

Д.

Наибольшее , наименьшее .

1)

2)

Т. Логранжа.

непрерывна на , диф. на

Д.

непрерывна на , диф. на

- угловой коэф. конст.

,

=k

Т. Коши.

непрерывна на , диф. на

Д.

непрерывна на , диф. на

Теорема Логранжа – частный случай теоремы Коши

Т. Лопиталя

удовлетворяют условиям т. Коши

Д.

Замечание.

Вместо можно

Дифференциальные уравнения

Уравнения первого порядка

(1)

(2)

Задача Каши

Это поиск решения уравнения с начальными условиями (2).

Теорема (о существовании решения задачи Каши)

- непрерывная и дифференцируемая функция в области

- ограничена

! Решение уравнения , удовлетворяющего условию (2)

Интегральная кривая – решение дифференциального уравнения

Решая уравнение будем получать семейство кривых

- общее решение ()

1) удовлетворяет () при с

2) при (2) ! при котором удовл. () и (2)

- частное решение, удовл. (2)

1. Уравнения с разделяющимися переменными.

|

,

[i]Пример.

Задача о распаде радиоактивного вещества.

Скорость распада радиоактивного вещества пропорционально массе вещества. Найти закон распада и период полураспада.

Т – период полураспада

2. Уравнение с однородными множителями

(*)

M, N – однородные функции одной степени

- однородная функция степени , если

Решение.

Уравнение сводится к виду (**)

(уравнение с разделяющимися переменными)

Пример.

3. Линейные уравнения

(1)

(2)

1способ

2способ

Решаем (2)

Подставим в (1)и найдём .

Лекция №11

Применение дифференциального исчисления к исследованию функций.

1.Монотонность

Теорема 1(необходимое условие монотонности)

- непрерывна и дифференцируема

Доказательство

Теорема 2 (достаточное условие монотонности)

- непрерывна и дифференцируема

Доказательство

(две произвольные точки)

C

2. Экстремумы

Определение. определена в окрестности

- точка максимума функции, если

Теорема 1. (Необходимое условие экстремума)

- непрерывна и дифференцируема в

- точка экстремума функции

Доказательство.

- точка минимума

;

;

.

Стационарные точки – точки, в которых производная равна нулю.

Критические точки – точки, в которых производная равна нулю или имеет разрыв.

Экстремумы могут находится только среди критических точек.

Теорема 2.(достаточное условие экстремума)

- непрерывна и дифференцируема в

- критическая точка

- точка минимума

- точка максимума

Доказательство.

C

- точка минимума

Теорема 3.(Исследование на экстремум с помощью второй производной)

- непрерывна в

- непрерывна в

- точка максимума

- точка минимума

Доказательство.

,

- точка максимума

3.Вогнутость.

Кривая называется вогнутой вверх (выпуклой), если она лежит ниже касательной проведённой в любой точке отрезка.

Если кривая лежит выше касательной то она вогнута книзу или просто вогнута.

Теорема 1. (необходимое условие вогнутости)

- непрерывна и дифференцируема

Если вогнута кверху

Если вогнута книзу

Доказательство. (нестрогое доказательство)

Если кривая вогнута книзу то первая производная возрастает.

Теорема 2. (достаточное условие вогнутости)

- непрерывна и дифференцируема

Если , то вогнута книзу

Если , то вогнута кверху

Доказательство.

- кривая

- касательная

справа и слева. Ч.Т.Д.

4.Перегибы.

-точка перегиба кривой если с одной стороны она вогнута кверху, а с другой вогнута книзу.

Теорема 1.(необходимое условие перегиба)

- непрерывна и дифференцируема в

-точка перегиба

Доказательство.

Точка перегиба - точка экстремума для производной в критических точках второго порядка, нужно искать экстремумы.

Теорема 2.(достаточное условие перегиба)

- непрерывна в

- непрерывна в

- непрерывна в

или

Если производная второго порядка меняет знак при переходе через точку , то -точка перегиба.

Доказательство.

Следует из основного условия для экстремума.

5.Асимптоты.

1) Вертикальные асимптоты

называется асимптотой , если

2) Наклонные асимптоты

называется наклонной асимптотой , если

называется асимптотической кривой для , если

Вывод уравнения наклонной асимптоты.

(1)

подставляем в формулу (1)

Формула Тэйлора

имеет непрерывную производную до пар в

Пусть имеет непрерывную производную до порядка в

+

(Формула Макларена)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Исследование функций на экстремумы с помощью формулы Тэйлора.

Теорема 1.

Пусть имеет непрерывную производную до порядка в

1) - четная

2) - нечетная нет экстремума в точке

( - точка перегиба)

Доказательство.

a C x

1) - четная

поскольку произведение непрерывно то знак совпадёт со знаком функции в точке а. - точка минимума

- точка максимума

2) - нечетная меняет знак

не меняет знака

меняет знак нет экстремума