Кванторные операции

Кроме рассмотренных выше операций, общих как для алгебры логики, так и для логики предикатов, в последней используются логические операции, которые не применяются в алгебре логики. Эти операции превращают одноместный предикат в высказывание. Таких операций две. Они имеют собственное название и символически обозначаются с помощью так называемых кванторов (от лат. quantum − сколько) всеобщности и существования. Квантор всеобщности обозначается символом −перевернутая первая буква английского All − все, а квантор существования обозначается символом − перевернутая первая буква английского слова Exist − существует. Поскольку эти операции по смысловому содержанию квантора должны отвечать на вопрос “сколько?”, то, очевидно, должен следовать ответ “все” или “хотя бы один”, то и применяться они могут только к предикатам, являющихся по определению функцией некоторой переменной, принимающей, в общем случае, бесчисленное множество значений.

Предикаты могут быть как одноместными, так и многоместными, т.е. являются функцией одной или многих переменных, а каждый квантор должен выделять только одну переменную (относиться к одной переменной). Поэтому справа от символа квантора указывают переменную, которую квантор выделяет из предиката. Тогда кванторная операция всеобщности для одноместного предиката записывается как , а кванторная операция существования для того же предиката ─ как .

Рассмотрим теперь логический смысл, который придается кванторам всеобщности и существования.

Квантор всеобщности. Пусть ─ предикат, определенный на множестве . Под выражением понимают высказывание, которое является истинным, когда предикат истинен для всех элементов ,и ложным в противном случае. Это высказывание уже не зависит от x. Соответствующее ему словесное выражение будет “для всякого истинно” или “для всех x истинно”.

Переменную x в предикате называют свободной (ей можно придавать различные значения из множества M), в высказывании переменная x уже является связанной квантором .

Квантор существования. Пусть ─ предикат, определенный на множестве M. Под выражением понимают высказывание, которое является истинным, если существует элемент , для которого предикат истинен, и ложным в противном случае. Это высказывание уже не зависит от x. Соответствующее ему словесное выражение читается так: “существует , при котором истинно”.

В предикате переменная x является свободной, а в высказывании она уже связана квантором .

Рассмотрим пример использования кванторных операций. Пусть на множестве N задан предикат “ число x делится на 3”. Используя кванторные операции всеобщности и существования из данного предиката можно получить высказывания и . Первое из них читается: “всякое натуральное число делится на 3”, а второе читается: – “ существует натуральное число, которое делится на 3”.

Очевидно, что первое из этих высказываний ложно, а второе истинно.

Из определения кванторной операции всеобщности следует, что высказывание истинно только в том единственном случае, когда – тождественно истинный предикат, а высказывание ложно только в том единственном случае, когда – тождественно ложный предикат.

Кванторные операции применяются не только к одноместным, но и к многоместным предикатам. Так, например, если на множестве M задан двухместный предикат , то применение к этому предикату кванторных операций всеобщности и существования по переменной приводит к получению одноместных предикатов и , зависящих от переменной и не зависящих от переменной x.

К этим предикатам можно применить кванторные операции по переменной y, которые приведут уже к четырем высказываниям (обратим внимание на то, что при первом применении кванторных операций по переменной к двухместному предикату мы получим предикаты, а при повторном применении кванторных операций по переменной к предикатам и мы получим высказывания следующих видов:

, , , .

Кванторные операции можно менять местами. Тогда, если поменять местами кванторы, то получим еще четыре высказывания:

, , , .

То есть для двухместного предиката применение двух кванторных операций дает восемь возможных высказываний.

Рассмотрим пример конкретного предиката – “ x: y ”, определенного на множестве N. Для всех восьми возможных высказываний запишем их словесную формулировку и определим их логические значения.

1. – “для всякого и для всякого x является делителем x ”.

2. – “существует y, которое для всякого x является делителем y ”.

3. – “для всякого y существует такое x, что оно делится на y ”.

4. – “существует y и существует x такое, что оно делится на y ”.

5. – “для всякого x и для всякого y является делителем x ”.

6. – “для всякого x существует такое y, что y является делителем x ”.

7. – “существует x такое, что для всякого y x делится на y ”.

8. – “ существует x и существует y такое, что y является делителем x ”.

Анализируя приведенные высказывания, можно отметить, что высказывания 1, 5, 7 ложны, а высказывания 2, 3, 4, 6 и 8 истинны. Отсюда следует очень важный вывод, что в общем случае изменение порядка следования кванторов изменяет смысл высказывания (когда они применяются к многоместным предикатам), а значит, и его логическое значение (примером являются высказывания 3 и 7).

Возникает естественный вопрос: связаны ли кванторные операции с какими-нибудь другими логическими операциями? Для ответа на этот вопрос рассмотрим предикат P(x), определенный на множестве . Если предикат P(x) является тождественно истинным, то истинными будут высказывания . При этом истинными будут высказывания и конъюнкция .

Если же хотя бы для одного элемента окажется ложным, то ложными будут и высказывания и конъюнкция . Следовательно, справедлива будет равносильность

.

Нетрудно также показать, что справедлива равносильность

.

Отсюда можно сделать вывод, что кванторные операции являются обобщением операций конъюнкции и дизъюнкции на бесконечных областях.

Интересно отметить, что перестановочное свойство кванторов отражает зависимость логического смысла предложений традиционной формальной логики (логики, в которой рассуждения, умозаключения и выводы осуществляются средствами естественного языка) от порядка расположения в них членов предложений.

Рассмотрим два простых предложения, состоящих из одних и тех же членов, но имеющих различное местоположение. Вот эти предложения: “Они все там” и “ Там все они”. Под словами “они” и “все” мы будем полагать некоторые множества (например, людей). Очевидно, что множество “все” либо полностью включает множество “они”, либо эти множества являются совпадающими. Другими словами, множество “они” является либо частью множества “все”, либо совпадает с ним, но никак не наоборот. Тогда первое предложение следует понимать так, что в некотором месте (т.е. “там”– на собрании, конференции, в правительстве и т.д.) присутствует или находится полный состав элементов множества “все”. Второе же предложение следует понимать так, что на некотором мероприятии находятся все, но из множества “они”.

Таким образом, в соответствии с первым предложением на мероприятии находятся все элементы из множества “все”, а в соответствии со вторым предложением на мероприятии находятся все элементы из множества “они”, которое меньше или, по крайней мере, равно множеству “все”. А это не одно и то же.

Приведем еще некоторые примеры, свидетельствующие о том, что логика рассуждений и их результаты зависят от особенностей языка, на котором они осуществляются. Так, например, слова страна, девочка и др. в русском языке являются словами женского рода, а слово дом – мужского рода. Те же слова das Land, das Madchen, das Haus и др. в немецком языке являются словами среднего рода (на это указывает артикль das). И таких примеров можно приводить множество.

Из этого следует, что во всех странах, где говорят на разных языках, как бы существуют свои формальные логики. Математическая логика как раз и является тем средством, которое позволяет устранить множественность логик.