Проблемы аксиоматического исчисления высказываний

Всякая аксиоматическая теория для своего обоснования требует рассмотренных четырех проблем:

1) проблемы разрешимости,

2) проблемы непротиворечивости,

3) проблемы полноты,

4) проблемы независимости.

Раскроем эти проблемы чуть детальнее, сформулировав их в виде теорем, но, не приводя соответствующего доказательства.

1. Проблема разрешимости исчисления высказываний заключается в доказательстве существования алгоритма, который позволил бы для любой заданной формулы исчисления высказываний определить, является она доказуемой или нет.

Теорема 1. Проблема разрешимости для исчисления высказываний разрешима.

2. Суть проблемы непротиворечивости исчисления высказываний состоит в следующем. Логическое исчисление называется непротиворечивым, если в нем недоказуемы никакие две формулы, из которых одна является отрицанием другой.

Иначе говоря, аксиоматическое исчисление называется непротиворечивым, если в нем не существует такая доказуемая формула А, что наряду с ней доказуема и формула .

Теорема 2. Исчисление высказываний непротиворечиво.

3. Проблема полноты исчисления высказываний. Существует два понятия полноты − в узком смысле и в широком смысле.

Аксиоматическое исчисление называется полным в узком смысле, если добавление к списку его аксиом любой недоказуемой в исчислении формулы в качестве новой аксиомы приводит к противоречивому исчислению.

Исчисление высказываний называется полным в широком смысле, если любая тождественно истинная формула в алгебре логики доказуема в исчислении высказываний.

Теорема 3. Исчисление высказываний полно в узком смысле.

Теорема 4. Исчисление высказываний полно в широком смысле.

4. Проблема независимости аксиом исчисления высказываний. Для каждого аксиоматического исчисления возникает вопрос о независимости его аксиом; а именно: нельзя ли какую-нибудь аксиому вывести из остальных аксиом, применяя правила вывода?

Если для некоторой аксиомы это возможно, то ее можно исключить из списка аксиом системы, и возможности логического исчисления при этом не изменятся. Иначе говоря, класс доказуемых формул не изменится.

Аксиома называется независимой от всех остальных аксиом исчисления, если она не может быть выведена из остальных аксиом.

Система аксиом исчисления высказываний называется независимой, если каждая аксиома системы независима.

Теорема 5. Система аксиом исчисления высказываний независима.

Из описания проблем исчисления высказываний вытекает вопрос: а не существует ли между алгеброй логики и исчислением высказываний такая связь, которая позволила бы некоторые проблемы исчисления высказываний решить с помощью алгебры логики, и наоборот.

Такая связь существует и на такую связь, в первую очередь, указывает теорема 4 о полноте исчисления высказываний в широком смысле. Используя эту теорему, можно установить доказуемость любой формулы путем установления ее тождественной истинности в алгебре логики. Такую замену выгодно осуществлять тогда, когда непосредственное установление доказуемости проблематично.

Существует и обратная теорема о том, что каждая формула, доказуемая в исчислении высказываний, является тождественно истинной в алгебре логики.

Эту теорему можно применять в тех случаях, когда установление тождественной истинности формулы (ТИФ) заменяют установлением ее доказуемости.

О тесной взаимосвязи ТИФ и доказуемых формул свидетельствует

тот факт, что часто в математической логике тождественная истинность формулы обозначается символом (ранее в подразд.1.3 для этой цели мы использовали запись ), по своему начертанию очень похожим на символ доказуемой формулы . Тождественно истинную формулу еще называют общезначимой или логическим законом.

Таким образом, прямую и обратную теоремы о полноте в широком смысле кратко можно записать так:

следует , следует

Несмотря на то, что из теоремы 4 следует, что все аксиомы исчисления высказываний являются ТИФ алгебры логики, мы, тем не менее, это проверим.

Проверку проведем, представляя каждую аксиому исчисления высказываний как соответствующую формулу алгебры логики и выполняя ее алгебраические преобразования в соответствии с аксиомами и законами алгебры логики. При этом анализировать аксиомы будем не в том порядке, как они записаны в подразд. 2.2, а в порядке увеличения сложности их анализа. Как правило, анализ “коротких” аксиом является менее громоздким, чем анализ “длинных” аксиом.

1) I₁: ,т.е. получаем

2) II₁: т.е.

3) II₂: т.е.

4) III₁: , т.е.

5) III₂: ,т.е.

6) IV₂: , т.е.

7) IV₃: , т.е.

8)IV₁: т.е.

9) I₂:

т.е.

10) II₃:

, т.е.

11) III .

т.е

Таким образом, все 11 аксиом являются ТИФ в алгебре логики. В качестве аксиом могут быть выбраны и другие формулы. Так, известна и другая система из 10 аксиом, которая приводится ниже. Для различения аксиом этой системы и аксиом, рассмотренных выше, будем обозначать их так:

;

;

Покажем, что аксиомы этой системы являются также ТИФ алгебры логики. Действительно, аксиомы совпадают с аксиомами соответственно. Тождественную истинность последних мы уже доказали выше, значит, аксиомы тоже являются ТИФ алгебры логики. Осталось проверить на тождественную истинность аксиомы и .

Сделаем это:

т.е.

[ ] ,т.е.

Последняя формула точно совпадает с третьей формулой для последовательности равносильных формул в I₂. Ее последующие преобразования показали, что она ТИФ. Следовательно, не продолжая дальнейшие преобразования, мы можем заключить, что и тоже является ТИФ.

Видим, что все аксиомы этой системы также являются ТИФ алгебры логики.

Использованием теоремы 4 о полноте исчисления высказываний в широком смысле может значительно упроститься процесс установления доказуемости формул. Действительно, тогда вместо того, чтобы искать некоторый вывод из совокупности формул, а затем по обобщенной теореме дедукции устанавливать доказуемость анализируемой исходной формулы, достаточно установить, является она ТИФ (общезначимой) или нет. Процесс же установления общезначимости формулы более определен, чем процесс установления доказуемости формул. Действительно, если установление общезначимости формулы путем алгебраических преобразований вызывает затруднения, то всегда для любой формулы можно построить таблицу истинности и по ней определить, является она общезначимой или нет (напомним, что формула будет общезначимой, если в последнем столбце её таблицы истинности будут стоять все единицы).

Наконец, последний штрих данного раздела. Как мы видим из предыдущих рассуждений, некоторые проблемы, трудно разрешимые в исчислении высказываний, достаточно просто могут быть решены в алгебре логики. Очевидно, таких проблем может быть множество. Поэтому говорят, что алгебра логики является интерпретацией (интерпретирует – растолковывает, разъясняет) исчисления высказываний. И вообще, относительно более абстрактная (сложная, развитая, общая) теория интерпретируется теорией менее абстрактной.

Вопросы для самоконтроля

1. Какая запись является формулой в исчислении высказываний?

2. Запишите аксиомы исчисления высказываний.

3. Сформулируйте правило подстановки и правило одновременной подстановки.

4. Сформулируйте правило заключения и правило сложного заключения.

5. Что понимается под термином «доказуемость» в исчислении высказываний. Дайте определение доказуемой формулы.

6. Сформулируйте и запишите правило силлогизма.

7. Сформулируйте и запишите правило контропозиции.

8. Сформулируйте и запишите правило снятия двойного отрицания.

9. Дайте определение выводимо формулы.

10. Что называется выводом из совокупности формул H?

11. Сформулируйте и запишите теорему дедукции.

12. Запишите обобщенную теорему дедукции и приведите ее доказательство.

13. Запишите правило введения конъюнкции.

14. Запишите правило введения дизъюнкции.

15. Перечислите четыре основных проблемы исчисления высказываний и прокомментируйте их.

16. Докажите тождественную истинность аксиомы I₂.

17. Докажите тождественную истинность аксиомы II₃.

18. Докажите тождественную истинность аксиомы III₃.

19. Докажите тождественную истинность аксиомы IV₄.