Доказательство некоторых законов логики

Правила выводимости, и особенно теорема дедукции, позволяют доказать ряд законов логики.

I. Закон перестановки посылок:

(1)

Доказательство. Так как из совокупности формул следует вывод , то из совокупности Н выводима формула z, т.е. , и по обобщенной теореме дедукции получаем ,что и требовалось доказать.

Из закона перестановки посылок вытекает правило перестановки посылок в доказуемых формулах:

Действительно, если

(2)

то из формул (1) и (2) согласно ПЗ следует

В алгебре логики это соответствует равносильностям:

II. Закон соединения посылок:

(3)

Доказательство. Так как из совокупности формул можно записать вывод (где соответственно аксиомы II₁и II₂), то из совокупности Н выводима формула z, т.е. . Тогда по обобщенной теореме дедукции получаем, , что и требовалось доказать.

Из закона соединения посылок вытекает правило соединения посылок в доказуемых формулах:

Действительно, если

(4)

то из формул (3) и (4) согласно ПЗ следует .

В алгебре логики это соответствует равносильностям:

III. Закон разъединения посылок:

(5)

Доказательство. Так как из совокупности формул следует вывод (в подразд.2.5 было показано, что , т.е. это то же самое, что и ), то из совокупности Н выводима формула z, т.е. . Тогда по обобщенной теореме дедукции .

Из закона разъединения посылок вытекает правило разъединения посылок в доказуемых формулах:

Действительно, если

(6)

то из формул (5) и (6) согласно ПЗ следует

В алгебре логики это правило соответствует равносильностям:

Упражнения.

1. Доказать выводимость следующих ниже формул из совокупности формул Н:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

2. Показать доказуемость следующих ниже формул, используя обобщенную теорему дедукции:

1) 2)

3) 4)

5)