Формула Бернулли. Наивероятнейшее число

Будем осуществлять повторение одного и того же испытания большое число раз.

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний (т.е. вероятность в каждом испытании остаётся постоянной), то такие испытания называют независимыми относительно события .

Будем рассматривать независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события одинакова.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), равна

(*)

или

(**)

где .

Формулы(*), (**) используются, если выполняются все условия схемы Бернулли: проводиться серия из испытаний; в каждом испытании выделяются два исхода: событие и событие ; вероятность события : ,вероятность события : .

Пример. Прибор имеет 6 ламп. Вероятность выхода из строя каждой лампы при данном повышении напряжения в цепи равна 0,3. При перегорании трёх или меньшего числа ламп прибор из строя не выходит. При перегорании четырёх ламп вероятность выхода прибора из строя равна 0,3, при перегорании пяти ламп – 0,7; при шести – 1. Определить вероятность выхода прибора из строя при повышении напряжения цепи.

Решение. Проводят испытание – повышают напряжение цепи. Событие лампа перегорела. Рассмотрим гипотезы:

перегорело 0 ламп из 6 (событие в шести испытаниях не наступило);

перегорела 1 лампа из 6 (событие наступило 1 раз);

перегорели 2 лампы из 6 (событие наступило 2 раза);

перегорели 3 из 6 (событие наступило 3 раза);

перегорели 4 из 6 (событие наступило 4 раза);

перегорели 5 из 6 (событие наступило 5 раз);

перегорели 6 из 6 (событие наступило 6 раз).

Испытывают работу шести ламп.

1. Проводят 6 испытаний (конечное число): .

2. В каждом испытании 2 исхода: лампа перегорела и лампа не перегорела.

3. в каждом испытании.

Итак, схема Бернулли выполняется, следовательно, для вычисления вероятностей гипотез используем формулу Бернулли:

.

Следовательно, образуют полную группу попарно несовместимых событий.

Тогда вероятность того, что прибор вышел из строя (т.е. лампа перегорела) равна