Формула Байеса. При выводе формулы полной вероятности предполагалось, что событие А может произойти с каждой из гипотез

При выводе формулы полной вероятности предполагалось, что событие А может произойти с каждой из гипотез , которые образуют полную группу попарно несовместимых событий, при этом вероятности гипотез были известны заранее. Пусть проведён опыт, в котором наступило событие . Выясним, как при этом условии изменяется вероятность гипотез. То есть найдём .

Рассмотрим . По теореме о вероятности . Выразим

- формула Байеса.

Она позволяет пересмотреть вероятности гипотез, при условии, что событие произошло.

Пример. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

Решение. Обозначим через событие – деталь отличного качества. Можно сделать два предположения (гипотеза): деталь произведена первым автоматом, причем (поскольку первый автомат производит вдвое больше деталей, чем второй) ; деталь произведена вторым автоматом, причем .

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом, .

Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена вторым автоматом, .

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна

.

Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Байеса равна

.